Metalle II, Teil c - Lehrstuhl Metallische Werkstoffe, Universität ...
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<strong>Metalle</strong> <strong>II</strong>, MaWi-Diplom, 7. Sem. Uwe Glatzel Modul WM4, MSE, 1.Sem.<br />
Die Spannung τ 1 auf die führende Versetzung 1 ergibt sich durch die von außen angelegte<br />
Schubspannung τ ext. plus die von jeder der (n-1) verbleibenden Versetzungen wirkende<br />
Spannung τ n, mit n ≠1 . Bewegt sich die führende Versetzung um δx, so rücken auch alle<br />
nachfolgenden Versetzungen um δx auf. Dies ergibt eine verrichtete Arbeit ΔW = n b τ ext. δx.<br />
Das Hindernis (z.B. die Korngrenze) wirkt mit einer Gegenkraft τ crit. auf die führende<br />
Versetzung. Dies ergibt bei Bewegung um δx eine Energieänderung von ΔW * = b τ crit. δx. Im<br />
Gleichgewicht sind die beiden Energiebeiträge gleich groß und somit ist:<br />
τ 1 = N τ ext.<br />
Durch einen Versetzungsaufstau lässt sich somit die Spannung auf die führende Versetzung<br />
deutlich erhöhen. Die Quelle wird weiterhin Versetzungen emittieren, solange die<br />
Rückspannung der letzten Versetzung kleiner ist als τ. Der Abstand zwischen Versetzung i<br />
und (i-1) verhält sich wie<br />
1 b G 1 1<br />
Δ x<br />
i<br />
=<br />
~ (für eine große Anzahl von Versetzungen im Aufstau)<br />
(N − i + 1) 2π<br />
τ i<br />
ext.<br />
Die Zahl der Versetzungen ergibt sich aus dem Abstand der Quelle zum Hindernis und ist hier<br />
ohne Herleitung gegeben (siehe Hirth & Lothe, p. 767ff). Im Fall, dass die Quelle sich im<br />
Zentrum des Kornes befindet, ist dies D/2 (D ... Korndurchmesser).<br />
N =<br />
d τ ext .<br />
G b<br />
==> τ crit. =<br />
d τ 2 ext .<br />
G b<br />
bzw.: τ ext. =<br />
τ<br />
crit.<br />
⋅ G ⋅ b<br />
d<br />
Bei Annahme einer konstanten Korngrenzenfestigkeit τ crit. = τ KG , ergibt sich:<br />
τ<br />
ext.<br />
~<br />
1<br />
d<br />
Somit ist über einen Versetzungsaufstau eine Herleitung für den Zusammenhang zwischen<br />
Korngröße und Streckgrenze gegeben (Hall-Petch).<br />
Korngrößeneinfluss (Hall-Petch-Beziehung)<br />
Aus der obigen Herleitung lässt sich das makroskopische Verformungsverhalten als Funktion<br />
der Korngröße ableiten. Der mittlere Laufweg ist von der Korngröße abhängig. Das heißt ein<br />
grobkörnigerer Werkstoff hat zu Beginn der Verformung eine größere mittlere freie<br />
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