Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
j 1 ≠ j 2 , also erst recht (S ∗ i ∩ S∗ j 1
) ∩ (S ∗ i ∩ S∗ j 2
) = ∅, d. h. g(j 1 ) ≠ g(j 2 ) für j 1 , j 2 ∈ W ∗ i mit
j 1 ≠ j 2 . Also ist g eine injektive Funktion von W ∗ i nach S ∗ i und wir erhalten
Da W ∗ eine Allokation induziert, gilt auch
∑
|W ∗ i | ≤ |S ∗ i |. (6.3)
j∈W ∗ i
|S ∗ j | ≤ m. (6.4)
Mit Ungleichungen (6.1), (6.2), (6.3) und (6.4) zusammen erhalten wir
∑
j∈W ∗ i
v ∗ j ≤
≤
v∗ i
√
|S
∗
i |
v∗ i
√
|S
∗
i
|
∑
j∈W ∗ i
√
√ ∑
|Sj ∗| ≤ v∗ i
√
√|W ∗
|S
∗ i
i |
| |Sj ∗|
j∈Wi
∗
√
|Sj ∗| ≤ v∗ i
√ |S
|S
∗ i ∗
i
|
|√ m = √ mvi ∗ . (6.5)
√|S ∗ i | √ ∑
Ferner gilt nach Definition der W ∗ i , dass
j∈W ∗ i
W ∗ ⊆ ⋃
i∈W
W ∗ i . (6.6)
Mit (6.6) und (6.5) zusammen erhalten wir schließlich die gewünschte Abschätzung
∑
vi ∗ ≤ ∑ ∑
vj ∗ ≤ ∑ √ mv
∗
i = √ m ∑ vi ∗ .
i∈W ∗ i∈W
i∈W
i∈W
j∈W ∗ i
Die soziale Wohlfahrt von W unterscheidet sich also höchstens um einen Faktor √ m von der
optimalen sozialen Wohlfahrt.
Der folgende Satz fasst die Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen.
Satz 35. Der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders ist effizient berechenbar, anreizkompatibel
und erzeugt eine Allokation, deren soziale Wohlfahrt eine √ m-Approximation
der optimalen sozialen Wohlfahrt ist.
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