Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
(S ∗ , v ′ ) immer noch gewinnend mit der gleichen Bezahlung, es gibt also keinen Anreiz, zu
(S ∗ , v ′ ) abzuweichen. Wenn v ′ ≤ p ∗ , so ist (S ∗ , v ′ ) verlierend. Abweichen auf (S ∗ , v ′ ) bringt
also keinen höheren Nutzen. Der zweite Fall, den wir noch betrachten müssen, ist der, in
dem (S ∗ , v ∗ ) verlierend ist. Dann ist aber v ∗ kleiner als der entsprechende kritische Wert,
womit die Bezahlung p ′ für ein gewinnendes Gebot (S ∗ , v ′ ) höher wäre als v ∗ . Damit wäre
eine Abweichung auf (S ∗ , v ′ ) unprofitabel.
Korollar 32. Der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders ist anreizkompatibel.
Nachdem wir nun die Anreizkompatibilität des Greedy-Mechanismus für single-minded bidders
gezeigt haben, fehlt noch der Beweis seiner Approximationsgarantie. In diesem Beweis
benötigen wir an einer Stelle die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, die wir hier aber nur
zitieren, nicht beweisen, wollen.
Satz 33 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung). Seien x j , y j ∈ R. Dann gilt
∑
√ ∑
x j y j ≤
j
j
√ ∑
x 2 j ·
j
y 2 j .
Lemma 34. Der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders produziert eine Gewinnermenge,
die eine soziale Wohlfahrt induziert, die um höchstens den Faktor √ m von der
optimalen sozialen Wohlfahrt abweicht.
Beweis. Sei W ∗ eine Menge von gewinnenden Bietern, so dass ∑ i∈W ∗ v∗ i maximal wird und
Si ∗ ∩ S∗ j = ∅ für i, j ∈ W ∗ , i ≠ j, und sei W die Ausgabe des Greedy-Mechanismus für
single-minded bidders. Zu zeigen ist also, dass ∑ i∈W
v ∗ ∗ i ≤ √ m ∑ i∈W v∗ i .
Für i ∈ W sei Wi ∗ = {j ∈ W ∗ | j ≥ i und Si ∗ ∩ S∗ j ≠ ∅} die Menge der im optimalen Fall
gewinnenden Bieter, die mit i identisch sind oder wegen Bieter i nicht in der Menge der
im approximativen Fall gewinnenden Bieter liegen. Da alle j ∈ Wi ∗ in der Greedy-Ordnung
nicht vor i liegen, gilt für diese j, dass
√
v ∗
vj ∗ i |Sj ∗|
≤ √
|S
∗
i |
also durch Summation über alle j ∈ W ∗ i auch
∑
v ∗ j ≤
v∗ i
√
|S
∗
i |
∑
√
|Sj ∗ |. (6.1)
j∈W ∗ i
j∈W ∗ i
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für x j = 1 und y j =
√
|Sj ∗ | erhalten wir außerdem,
dass
∑
√|S ∗ j | ≤ √ ∑
1 2 √ ∑
|S ∗ j | = √
|W ∗ i | √ ∑
|Sj ∗ |. (6.2)
j∈W ∗ i
j∈W ∗ i
j∈W ∗ i
j∈W ∗ i
Für alle j ∈ W ∗ i gilt S ∗ i ∩ S∗ j ≠ ∅, d. h. es gibt ein g(j) ∈ S∗ i ∩ S∗ j . Da W ∗ eine Allokation
induziert, also keine zwei Bieter dasselbe Objekt erhalten, gilt S ∗ j 1
∩S ∗ j 2
= ∅ für j 1 , j 2 ∈ W ∗ i ,
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