Spieltheorie
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6 Mechanismusdesign<br />
(S ∗ , v ′ ) immer noch gewinnend mit der gleichen Bezahlung, es gibt also keinen Anreiz, zu<br />
(S ∗ , v ′ ) abzuweichen. Wenn v ′ ≤ p ∗ , so ist (S ∗ , v ′ ) verlierend. Abweichen auf (S ∗ , v ′ ) bringt<br />
also keinen höheren Nutzen. Der zweite Fall, den wir noch betrachten müssen, ist der, in<br />
dem (S ∗ , v ∗ ) verlierend ist. Dann ist aber v ∗ kleiner als der entsprechende kritische Wert,<br />
womit die Bezahlung p ′ für ein gewinnendes Gebot (S ∗ , v ′ ) höher wäre als v ∗ . Damit wäre<br />
eine Abweichung auf (S ∗ , v ′ ) unprofitabel.<br />
Korollar 32. Der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders ist anreizkompatibel.<br />
Nachdem wir nun die Anreizkompatibilität des Greedy-Mechanismus für single-minded bidders<br />
gezeigt haben, fehlt noch der Beweis seiner Approximationsgarantie. In diesem Beweis<br />
benötigen wir an einer Stelle die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, die wir hier aber nur<br />
zitieren, nicht beweisen, wollen.<br />
Satz 33 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung). Seien x j , y j ∈ R. Dann gilt<br />
∑<br />
√ ∑<br />
x j y j ≤<br />
j<br />
j<br />
√ ∑<br />
x 2 j ·<br />
j<br />
y 2 j .<br />
Lemma 34. Der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders produziert eine Gewinnermenge,<br />
die eine soziale Wohlfahrt induziert, die um höchstens den Faktor √ m von der<br />
optimalen sozialen Wohlfahrt abweicht.<br />
Beweis. Sei W ∗ eine Menge von gewinnenden Bietern, so dass ∑ i∈W ∗ v∗ i maximal wird und<br />
Si ∗ ∩ S∗ j = ∅ für i, j ∈ W ∗ , i ≠ j, und sei W die Ausgabe des Greedy-Mechanismus für<br />
single-minded bidders. Zu zeigen ist also, dass ∑ i∈W<br />
v ∗ ∗ i ≤ √ m ∑ i∈W v∗ i .<br />
Für i ∈ W sei Wi ∗ = {j ∈ W ∗ | j ≥ i und Si ∗ ∩ S∗ j ≠ ∅} die Menge der im optimalen Fall<br />
gewinnenden Bieter, die mit i identisch sind oder wegen Bieter i nicht in der Menge der<br />
im approximativen Fall gewinnenden Bieter liegen. Da alle j ∈ Wi ∗ in der Greedy-Ordnung<br />
nicht vor i liegen, gilt für diese j, dass<br />
√<br />
v ∗<br />
vj ∗ i |Sj ∗|<br />
≤ √<br />
|S<br />
∗<br />
i |<br />
also durch Summation über alle j ∈ W ∗ i auch<br />
∑<br />
v ∗ j ≤<br />
v∗ i<br />
√<br />
|S<br />
∗<br />
i |<br />
∑<br />
√<br />
|Sj ∗ |. (6.1)<br />
j∈W ∗ i<br />
j∈W ∗ i<br />
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für x j = 1 und y j =<br />
√<br />
|Sj ∗ | erhalten wir außerdem,<br />
dass<br />
∑<br />
√|S ∗ j | ≤ √ ∑<br />
1 2 √ ∑<br />
|S ∗ j | = √<br />
|W ∗ i | √ ∑<br />
|Sj ∗ |. (6.2)<br />
j∈W ∗ i<br />
j∈W ∗ i<br />
j∈W ∗ i<br />
j∈W ∗ i<br />
Für alle j ∈ W ∗ i gilt S ∗ i ∩ S∗ j ≠ ∅, d. h. es gibt ein g(j) ∈ S∗ i ∩ S∗ j . Da W ∗ eine Allokation<br />
induziert, also keine zwei Bieter dasselbe Objekt erhalten, gilt S ∗ j 1<br />
∩S ∗ j 2<br />
= ∅ für j 1 , j 2 ∈ W ∗ i ,<br />
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