Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Definition 110 (Kritische Bezahlungen). Ein Mechanismus für single-minded bidders benutzt
kritische Bezahlungen, wenn ein Bieter, der gewinnt, den minimalen Wert zahlt,
der zum Gewinnen nötig ist, also das Infimum aller v ′ , so dass (S ∗ , v ′ ) gewinnt.
Lemma 30. Der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders ist monoton, benutzt kritische
Bezahlungen, und Verlierer zahlen nichts.
Beweis. Wir zeigen die einzelnen Behauptungen getrennt.
Monotonie: Erhöhen von vi ∗ oder Verkleinern von S∗ i schiebt Bieter i in der Greedy-Ordnung
höchstens weiter nach vorne, wodurch es für ihn nur leichter wird zu gewinnen.
Kritische Bezahlungen: Bieter i gewinnt, solange er in der Greedy-Ordnung vor Bieter j
steht (falls ein solches j überhaupt existiert). Dies gilt genau dann, wenn
vi
∗ √
|S
∗
i | ≥
v∗ j
, √|Sj ∗| also genau dann, wenn
√
vi ∗ ≥ v∗ j |S
∗
i |
= √|Sj ∗| v ∗ j
√|S ∗ j |/|S∗ i | = p i .
Verlierer zahlen nichts: Offensichtlich.
Lemma 31. Ein Mechanismus für single-minded bidders, bei dem Verlierer nichts zahlen,
der monoton ist, und der kritische Bezahlungen verwendet, ist anreizkompatibel.
Beweis. Zunächst wollen wir zeigen, dass die Angabe der wahren Gebote nie zu negativem
Nutzen führt. Verliert das angegebene Gebot, so hat der Bieter Nutzen 0. Gewinnt es, hat
er Nutzen v ∗ − p ∗ ≥ 0, da v ∗ ≥ p ∗ , denn p ∗ ist gerade die kritische Bezahlung, und wenn
das Gebot gewinnt, muss der Bieter (wahrheitsgemäß) einen Betrag v ∗ von mindestens p ∗
geboten haben.
Nun wollen wir zeigen, dass die Angabe eines vom wahren Gebot (S ∗ , v ∗ ) abweichenden
Gebots (S ′ , v ′ ) keinen höheren Nutzen als (S ∗ , v ∗ ) bringt. Falls (S ′ , v ′ ) verlierend ist oder
S ∗ ⊈ S ′ , der Bieter also nicht das erhält, was er wünscht, erhält er Nutzen 0 in (S ′ , v ′ ), also
keine Verbesserung gegenüber seinem Nutzen bei Angabe von (S ∗ , v ∗ ), die nie zu negativem
Nutzen führen kann.
Bleibt also noch der Fall, dass (S ′ , v ′ ) gewinnend ist und S ∗ ⊆ S ′ . Um zu zeigen, dass auch
dann (S ∗ , v ∗ ) ein mindestens so gutes Gebot ist wie (S ′ , v ′ ), gehen wir in zwei Schritten
vor: Wir zeigen, dass (S ∗ , v ′ ) mindestens so gut ist wie (S ′ , v ′ ), und dann, dass (S ∗ , v ∗ )
mindestens so gut ist wie (S ∗ , v ′ ).
Um zu zeigen, dass (S ∗ , v ′ ) mindestens so gut ist wie (S ′ , v ′ ), sei p ′ die Bezahlung bei Gebot
(S ′ , v ′ ) und p die Bezahlung bei Gebot (S ∗ , v ′ ). Für alle x < p ist (S ∗ , x) verlierend, da p
gerade der kritische Wert für S ∗ ist. Wegen der Monotonie ist dann auch (S ′ , x) verlierend
für alle x < p. Also ist der kritische Wert p ′ für S ′ mindestens p. Also ist (S ∗ , v ′ ) immer
noch gewinnend, wenn (S ′ , v ′ ) es war, und erzeugt die gleiche Bezahlung.
Um zu zeigen, dass (S ∗ , v ∗ ) mindestens so gut ist wie (S ∗ , v ′ ), müssen wir zwei Fälle unterscheiden.
Angenommen, (S ∗ , v ∗ ) ist gewinnend mit Bezahlung p ∗ . Wenn v ′ > p ∗ , so ist
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