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Spieltheorie

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6 Mechanismusdesign<br />

Der Mechanismus ist berechnungseffizient, falls f und alle p i in polynomieller Zeit berechnet<br />

werden können. Er ist anreizkompatibel, falls für alle i = 1, . . .,n und alle<br />

v 1 , . . .,v n , v ′ i ∈ V SM gilt, dass v i (f(v i , v −i )) − p i (v i , v −i ) ≥ v i (f(v ′ i , v −i)) − p i (v ′ i , v −i), wobei<br />

v i (a) = v ∗ i , falls i in a gewinnt (einen Zuschlag erhält), und v i(a) = 0, sonst.<br />

Im Prinzip könnten wir nun einen VCG-Mechanismus verwenden. Ein solcher wäre zwar<br />

anreizkompatibel, aber nicht berechnungseffizient, weil sowohl für f als auch für die p i<br />

immer optimale soziale Wohlfahrtswerte berechnet werden müssen. Dass dies NP-schwer ist,<br />

haben wir in Satz 28 gesehen. Ein VCG-artiger Mechanismus, der wie ein VCG-Mechanismus<br />

definiert ist, aber soziale Wohlfahrten approximiert (bestenfalls innerhalb eines Faktors √ m),<br />

wäre umgekehrt zwar berechnungseffizient, aber nicht mehr anreizkompatibel. Die Lösung<br />

ist, den VCG-Ansatz hier zu verwerfen und einen spezialisierten Mechanismus zu verwenden.<br />

Definition 108 (Greedy-Mechanismus für single-minded bidders). Der Greedy-Mechanismus<br />

für single-minded bidders ist wie folgt definiert. Seien die Bieter 1, . . .,n so angeordnet,<br />

dass<br />

v ∗ 1<br />

√<br />

|S<br />

∗<br />

1 | ≥ v∗ 2<br />

√<br />

|S<br />

∗<br />

2 | ≥ · · · ≥<br />

v∗ n<br />

√<br />

|S<br />

∗ n | .<br />

Sei ferner die Menge W ⊆ {1, . . .,n} prozedural definiert durch den folgenden Pseudocode:<br />

W ← ∅<br />

for i = 1, . .( .,n do ⋃ )<br />

if Si ∗ ∩ j∈W S∗ j = ∅ then<br />

W ← W ∪ {i}<br />

end if<br />

end for<br />

Der Mechanismus liefert dann als Ergebnis die Allokation a, in der genau die Bieter aus W<br />

einen Zuschlag bekommen. Für die Bezahlungen gilt: Falls i ∈ W und es einen kleinsten<br />

Index j gibt, so dass Si ∗ ∩ S∗ j ≠ ∅ und für alle k < j, k ≠ i, S∗ k ∩ S∗ j = ∅, so ist<br />

p i (v 1 , . . . , v n ) =<br />

v ∗ j<br />

√|S ∗ j |/|S∗ i | ,<br />

und sonst ist p i (v 1 , . . .,v n ) = 0.<br />

Dass der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders effizient berechenbar ist, ist offensichtlich.<br />

Wir wollen nun noch zeigen, dass er anreizkompatibel ist und immer eine Allokation<br />

erzeugt, deren soziale Wohlfahrt um höchstens den Faktor √ m schlechter ist als die optimale<br />

soziale Wohlfahrt. Um die Anreizkompatibilität zu zeigen, zeigen wir, dass jeder Mechanismus<br />

für single-minded bidders, bei dem Verlierer nichts zahlen, der monoton ist, und der<br />

kritische Bezahlungen verwendet, anreizkompatibel ist, und dass der Greedy-Mechanismus<br />

für single-minded bidders diese Anforderungen erfüllt.<br />

Definition 109 (Monotonie). Ein Mechanismus für single-minded bidders ist monoton,<br />

wenn ein Bieter, der mit Gebot (S ∗ , v ∗ ) gewinnt, auch mit jedem Gebot (S ′ , v ′ ) gewinnt,<br />

bei dem S ′ ⊆ S ∗ und v ′ ≥ v ∗ (für feste Gebote der anderen Bieter).<br />

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