Spieltheorie
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6 Mechanismusdesign<br />
Der Mechanismus ist berechnungseffizient, falls f und alle p i in polynomieller Zeit berechnet<br />
werden können. Er ist anreizkompatibel, falls für alle i = 1, . . .,n und alle<br />
v 1 , . . .,v n , v ′ i ∈ V SM gilt, dass v i (f(v i , v −i )) − p i (v i , v −i ) ≥ v i (f(v ′ i , v −i)) − p i (v ′ i , v −i), wobei<br />
v i (a) = v ∗ i , falls i in a gewinnt (einen Zuschlag erhält), und v i(a) = 0, sonst.<br />
Im Prinzip könnten wir nun einen VCG-Mechanismus verwenden. Ein solcher wäre zwar<br />
anreizkompatibel, aber nicht berechnungseffizient, weil sowohl für f als auch für die p i<br />
immer optimale soziale Wohlfahrtswerte berechnet werden müssen. Dass dies NP-schwer ist,<br />
haben wir in Satz 28 gesehen. Ein VCG-artiger Mechanismus, der wie ein VCG-Mechanismus<br />
definiert ist, aber soziale Wohlfahrten approximiert (bestenfalls innerhalb eines Faktors √ m),<br />
wäre umgekehrt zwar berechnungseffizient, aber nicht mehr anreizkompatibel. Die Lösung<br />
ist, den VCG-Ansatz hier zu verwerfen und einen spezialisierten Mechanismus zu verwenden.<br />
Definition 108 (Greedy-Mechanismus für single-minded bidders). Der Greedy-Mechanismus<br />
für single-minded bidders ist wie folgt definiert. Seien die Bieter 1, . . .,n so angeordnet,<br />
dass<br />
v ∗ 1<br />
√<br />
|S<br />
∗<br />
1 | ≥ v∗ 2<br />
√<br />
|S<br />
∗<br />
2 | ≥ · · · ≥<br />
v∗ n<br />
√<br />
|S<br />
∗ n | .<br />
Sei ferner die Menge W ⊆ {1, . . .,n} prozedural definiert durch den folgenden Pseudocode:<br />
W ← ∅<br />
for i = 1, . .( .,n do ⋃ )<br />
if Si ∗ ∩ j∈W S∗ j = ∅ then<br />
W ← W ∪ {i}<br />
end if<br />
end for<br />
Der Mechanismus liefert dann als Ergebnis die Allokation a, in der genau die Bieter aus W<br />
einen Zuschlag bekommen. Für die Bezahlungen gilt: Falls i ∈ W und es einen kleinsten<br />
Index j gibt, so dass Si ∗ ∩ S∗ j ≠ ∅ und für alle k < j, k ≠ i, S∗ k ∩ S∗ j = ∅, so ist<br />
p i (v 1 , . . . , v n ) =<br />
v ∗ j<br />
√|S ∗ j |/|S∗ i | ,<br />
und sonst ist p i (v 1 , . . .,v n ) = 0.<br />
Dass der Greedy-Mechanismus für single-minded bidders effizient berechenbar ist, ist offensichtlich.<br />
Wir wollen nun noch zeigen, dass er anreizkompatibel ist und immer eine Allokation<br />
erzeugt, deren soziale Wohlfahrt um höchstens den Faktor √ m schlechter ist als die optimale<br />
soziale Wohlfahrt. Um die Anreizkompatibilität zu zeigen, zeigen wir, dass jeder Mechanismus<br />
für single-minded bidders, bei dem Verlierer nichts zahlen, der monoton ist, und der<br />
kritische Bezahlungen verwendet, anreizkompatibel ist, und dass der Greedy-Mechanismus<br />
für single-minded bidders diese Anforderungen erfüllt.<br />
Definition 109 (Monotonie). Ein Mechanismus für single-minded bidders ist monoton,<br />
wenn ein Bieter, der mit Gebot (S ∗ , v ∗ ) gewinnt, auch mit jedem Gebot (S ′ , v ′ ) gewinnt,<br />
bei dem S ′ ⊆ S ∗ und v ′ ≥ v ∗ (für feste Gebote der anderen Bieter).<br />
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