Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Eingabe: Gebote (Si ∗, v∗ i ) für i = 1, . . . , n
Ausgabe: W ⊆ {1, . . .,n} mit Si ∗ ∩ S∗ j = ∅ für i, j ∈ W, i ≠ j, so dass ∑ i∈W v∗ i maximal.
Wir wollen zeigen, dass APSMB NP-vollständig ist. Da das APSMB ein Optimierungsproblem
ist, müssen wir für den Beweis das entsprechende Entscheidungsproblem betrachten.
Definition 105 (Allokationsproblem für single-minded bidders (Entscheidungsproblem)).
Die Entscheidungsproblemvariante von APSMB (APSMB-D) ist definiert durch folgende
Ein- und Ausgaben.
Eingabe: Gebote (Si ∗, v∗ i ) für i = 1, . . . , n und k ∈ N
Ausgabe:
∑
Existiert ein W ⊆ {1, . . .,n} mit Si ∗ ∩ S∗ j
i∈W v∗ i ≥ k?
Satz 28. APSMB-D ist NP-vollständig.
= ∅ für i, j ∈ W, i ≠ j, so dass
Beweis. Reduktion von Independent-Set. Als Independent-Set-Instanz sei ein ungerichteter
Graph (V, E) und ein k IS ∈ N gegeben. Gefragt ist also, ob (V, E) eine unabhängige
Menge der Größe k IS enthält. In der entsprechenden APSMB-D-Instanz ist dann k = k IS ,
die Menge der Güter G = E, die Menge der Bieter N = V , und für jeden Bieter i ∈ V
haben wir das Gebot (Si ∗, v∗ i ) mit S∗ i = {e ∈ E | i ∈ e} und vi ∗ = 1. Die Knoten bieten
also um ihre inzidenten Kanten. Wegen Si ∗ ∩ S∗ j = ∅ für i, j ∈ W, i ≠ j, repräsentiert die
Menge der Gewinner W eine unabhängige Menge der Mächtigkeit |W | = ∑ i∈W v∗ i . Also
existiert eine unabhängige Menge der Kardinalität mindestens k IS genau dann, wenn es eine
Menge W von Gewinnern mit ∑ i∈W v∗ i ≥ k gibt. Damit ist die NP-Schwere gezeigt. Dass
APSMB-D ∈ NP, ist klar (Gewinner raten und verifizieren).
Wir sind also zur Lösung des Allokationsproblems auf Approximationsalgorithmen oder
heuristische Ansätze angewiesen. Im folgenden Teilabschnitt wollen wir uns mit einem Approximationsalgorithmus
für das Allokationsproblem beschäftigen.
Approximationsalgorithmen
Zunächst wollen wir die Güte einer Approximation definieren.
Definition 106 (Approximationsgüte). Sei c ≥ 1. Eine Allokation (S 1 , . . .,S n ) ist eine c-
Approximation der optimalen Allokation, falls für eine optimale Allokation (T 1 , . . .,T n )
gilt, dass ∑ n
i=1 v i(T i ) ≤ c · ∑n
i=1 v i(S i ).
Satz 29. APSMB innerhalb eines Faktors c ≤ m 1 /2−ε zu approximieren ist NP-schwer.
Das Beste, worauf wir im Spezialfall von single-minded bidders noch hoffen können, ist also
ein anreizkompatibler m 1 /2
-Approximationsalgorithmus mit polynomieller Laufzeit. Einen
solchen wollen wir im folgenden vorstellen.
Definition 107 (Mechanismus für single-minded bidders). Sei V sm die Menge aller singleminded
bids und A die Menge aller Allokationen. Ein Mechanismus für single-minded
bidders ist ein Tupel (f, p 1 , . . .,p n ), bestehend aus einer sozialen Entscheidungsfunktion
f : Vsm n → A und Bezahlfunktionen p i : Vsm n → R für alle i = 1, . . .,n.
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