Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Definition 101 (Allokation). Eine Allokation der Güter auf die Bieter ist (S 1 , . . .,S n )
mit S i ⊆ G für i = 1, . . .,n und S i ∩S j = ∅ für i ≠ j. Die soziale Wohlfahrt einer solchen
Allokation ist ∑ n
i=1 v i(S i ), wenn v 1 , . . . , v n die Bewertungen der Bieter sind. Eine Allokation
heißt sozial effizient, falls sie unter allen Allokationen die soziale Wohlfahrt maximiert. Die
Menge aller Allokationen sei A.
Definition 102 (Gewinnerbestimmungsproblem). Seien v i : 2 G → R + , i = 1, . . .,n, die
deklarierten Bewertungen der Bieter. Das Gewinnerbestimmungsproblem (Winner determination
problem, WDP) ist das Problem, für diese Bewertungen eine sozial effiziente
Allokation a ∈ A zu bestimmen.
Wollen wir einen Mechanismus für das Gewinnerbestimmungsproblem entwickeln, so müssen
wir uns nicht nur über dessen Anreizkompatibilität Gedanken machen, sondern wegen der
exponentiell vielen Teilmengen, für die die Bieter Präferenzen haben können, auch über die
Komplexität der Repräsentation und Kommunikation der Präferenzen und die Berechnungskomplexität
des Gewinnerbestimmungsproblems.
Hinsichtlich der Komplexität der Repräsentation der Präferenzen wollen wir uns auf einen
Spezialfall, sogenannte single-minded bidders, beschränken, bei dem die Präferenzen eines
Bieters in polynomiellem Platz repräsentiert werden können. Selbst in diesem Spezialfall ist
aber das Gewinnerbestimmungsproblem immer noch NP-schwer, weswegen wir in den folgenden
Abschnitten einen Approximationsalgorithmus sowie eine Kodierung als ganzzahliges
lineares Programm und dessen LP-Relaxierung betrachten wollen. Die Anreizkompatibilität
werden wir jeweils im Kontext der konstruierten Mechanismen diskutieren.
6.6.2 Single-Minded Bidders
In diesem Abschnitt betrachten wir nur sogenannte single-minded bidders, also Bieter, die
ein bestimmtes Bündel ersteigern wollen, für dieses Bündel (und alle Obermengen) eine feste
Bewertung v ∗ haben, und alle anderen Bündel mit 0 bewerten.
Definition 103 (Single-minded bidder). Eine Bewertung v heißt single-minded, falls es
ein Bündel S ∗ ⊆ G und einen Wert v ∗ ∈ R + gibt, so dass
{
v ∗ falls S ∗ ⊆ S
v(S) =
0 sonst
Ein single-minded bid ist ein Paar (S ∗ , v ∗ ).
Komplexität
Das Problem der Repräsentationkomplexität haben wir damit gelöst. Dass wir damit die
Berechnungskomplexität aber noch nicht in den Griff bekommen haben, zeigt der folgende
Satz.
Definition 104 (Allokationsproblem für single-minded bidders). Das Allokationsproblem
für single-minded bidders (APSMB) ist definiert durch folgende Ein- und Ausgaben.
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