Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
der restlichen Spieler. Ist aber auch Spieler 1 beteiligt, maximiert Alternative a wegen
v 1 (a)+v 2 (a) = 10+9 = 19 > 17 = 2+15 = v 1 (b)+v 2 (b) die Summe über die Bewertungen.
Dadurch verschlechtern sich die restlichen Spieler (also Spieler 2) um 6 Einheiten von 15 auf
9. Entsprechend müsste eine Clarke-Pivot-Funktion h 1 (v 2 ) = 15 bzw. die Bezahlfunktion
p 1 (v 1 , . . .,v n ) = max b∈A
∑j≠1 v j(b) − ∑ j≠1 v j(a) = 15 − 9 = 6 gewählt werden.
Das folgende Lemma bestätigt, dass Clarke-Pivot-Funktionen einen VCG-Mechanismus individuell
rational und frei von positiven Transfers macht.
Lemma 27 (Clarke-Pivot-Regel). Ein VCG-Mechanismus mit Clarke-Pivot-Funktionen hat
keine positiven Transfers. Falls v i (a) ≥ 0 für alle i = 1, . . .,n, v i ∈ V i und a ∈ A, dann ist
der Mechanismus auch individuell rational.
Beweis. Sei a = f(v 1 , . . .,v n ) die Alternative, die ∑ n
j=1 v j(a) maximiert, und b die Alternative,
die ∑ ∑
j≠i v j(b) maximiert. Der Nutzen von Spieler i beträgt dann u i = v i (a) +
j≠i v j(a)− ∑ j≠i v j(b). Die Bezahlfunktion für i ist p i (v 1 , . . .,v n ) = ∑ j≠i v j(b)− ∑ j≠i v j(a).
Es gilt also p i (v 1 , . . .,v n ) ≥ 0, da b gerade so gewählt wurde, dass ∑ j≠i v j(b) maximiert wird.
Also gibt es keine positiven Transfers. Da v i (b) ≥ 0 sein soll, gilt u i = v i (a) + ∑ j≠i v j(a) −
∑j≠i v j(b) ≥ ∑ n
j=1 v j(a)− ∑ n
j=1 v j(b). Da a gewählt wurde, um ∑ n
j=1 v j(a) zu maximieren,
gilt ∑ n
j=1 v j(a) ≥ ∑ n
j=1 v j(b), also u i ≥ 0, und damit ist der Mechanismus auch individuell
rational.
Es folgen einige Beispiele für VCG-Mechanismen mit Clarke-Pivot-Regel.
Beispiel 96 (Vickrey-Auktion). Bei Vickrey-Auktionen ist die Menge der Alternativen A
gleich der Menge der Spieler N, und der Nutzen eines Spielers ist v i (j) = w i , falls j = i,
und v i (j) = 0, falls j ≠ i, wenn w i > 0 der Wert ist, den das Objekt für Spieler i hat. Die
soziale Wohlfahrt wird maximiert, wenn Alternative j den Wert ∑ n
i=1 v i(j) maximiert. Weil
für jede Alternative j alle Summanden bis auf einen gleich Null sind und der verbleibende
Summand den Wert w j hat, geschieht dies genau dann, wenn w j maximiert wird, wenn
also der Bieter mit der höchsten Bewertung den Zuschlag erhält. Sei a = f(v 1 , . . .,v n ) =
argmax j∈A w j dieser Bieter. Damit es sich um einen VCG-Mechanismus mit Clarke-Pivot-
Regel handelt, müssen die Bezahlfunktionen die Form p i (v 1 , . . . , v n ) = h i (v −i ) − ∑ j≠i v j(a)
mit h i (v −i ) = max b∈A
∑
j≠i v j(b) haben. Es gilt aber max b∈A
∑j≠i v j(b) = max b∈A\{i} w b .
Für i = a ist damit p i (v 1 , . . .,v n ) = max b∈A
∑j≠i v j(b) − ∑ j≠i v j(a) = max b∈A\{a} w b −
0 = max b∈A\{a} w b , also gerade der Wert des zweithöchsten Gebots. Falls i ≠ a, so ist
p i (v 1 , . . .,v n ) = max b∈A
∑j≠i v j(b) − ∑ j≠i v j(a) = max b∈A\{i} w b − w a = w a − w a = 0, ein
Bieter, der den Zuschlag nicht bekommen hat, zahlt also nichts.
Beispiel 97 (Bilateraler Handel). Ein Verkäufer s bietet ein Objekt an, das er mit 0 ≤
w s ≤ 1 bewertet. Ein potentieller Käufer b bewertet das Objekt mit 0 ≤ w b ≤ 1. Die
Alternativen sind A = {trade,no-trade}, die Nutzenwerte v s (no-trade) = 0, v s (trade) = −w s ,
v b (no-trade) = 0 und v b (trade) = w b . Ein VCG-Mechanismus maximiert v s (a)+v b (a). Es ist
v s (trade) + v b (trade) = w b − w s und v s (no-trade) + v b (no-trade) = 0, die Alternative trade
maximiert die soziale Wohlfahrt also genau dann, wenn w b ≥ w s gilt, und no-trade, sonst.
Wir wollen den Mechanismus so gestalten, dass bei Wahl der Alternative no-trade beide
Spieler nichts zahlen müssen und nichts erhalten, dass also p s (v s , v b ) = p b (v s , v b ) = 0 gilt.
Dazu können wir für den Käufer die Clarke-Pivot-Funktion h b (v s ) = max a∈A v s (a) wählen.
Für den Verkäufer müssen wir um eine additive Konstante von der Clarke-Pivot-Funktion
51