Spieltheorie
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6 Mechanismusdesign<br />
Definition 91 (Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus). Ein Mechanismus (f, p 1 , . . .,p n ) heißt<br />
Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus (VCG-Mechanismus), falls<br />
1. f(v 1 , . . . , v n ) ∈ argmax a∈A<br />
∑ n<br />
i=1 v i(a) für alle v 1 , . . .,v n und<br />
2. es Funktionen h 1 , . . .,h n mit h i : V −i → R gibt, so dass p i (v 1 , . . .,v n ) = h i (v −i ) −<br />
∑<br />
j≠i v j(f(v 1 , . . .,v n )) für alle i = 1, . . .,n und v 1 , . . .,v n .<br />
Da h i (v −i ) von der deklarierten Präferenz von Spieler i unabhängig ist, kann Spieler i diesen<br />
Wert als Konstante c betrachten. Also erhält Spieler i den Nutzen v i (f(v 1 , . . .,v n )) +<br />
∑j≠i v j(f(v 1 , . . .,v n )) − c = ∑ n<br />
j=1 v j(f(v 1 , . . .,v n )) − c.<br />
Satz 26 (Vickrey-Clarke-Groves). Jeder VCG-Mechanismus ist anreizkompatibel.<br />
Beweis. Seien i, v −i , v i und v i ′ gegeben. Zu zeigen ist, dass der Nutzen bei Deklaration der<br />
wahren Präferenz v i mindestens so hoch ist wie bei der Deklaration der falschen Präferenz v i ′.<br />
Sei dazu a = f(v i , v −i ) und a ′ = f(v i ′, v −i). Der Nutzen von Spieler i ist v i (a ′ )+ ∑ j≠i v j(a ′ )−<br />
h i (v −i ) bei Deklaration von v i ′ und v i(a)+ ∑ j≠i v j(a)−h i (v −i ) bei Deklaration von v i . Da a =<br />
f(v i , v −i ) die soziale Wohlfahrt über alle Alternativen maximiert, gilt v i (a) + ∑ j≠i v j(a) ≥<br />
v i (a ′ )+ ∑ j≠i v j(a ′ ). Die Ungleichung gilt natürlich auch, wenn man auf beiden Seiten h i (v −i )<br />
subtrahiert, und damit ist v i (f(v i , v −i )) − p i (v i , v −i ) ≥ v i (f(v i ′, v −i)) − p i (v i ′, v −i).<br />
6.5.3 Die Clarke-Pivot-Regel<br />
Wir haben bislang noch offengelassen, wie man die Bezahlfunktionen bzw. die Funktionen h i<br />
sinnvoll wählen kann. Alle h i durch h i (v −i ) = 0 zu definieren, wäre zwar zulässig, hätte aber<br />
den Nachteil, dass der Mechanismus dadurch im Allgemeinen viel mehr Geld an die Spieler<br />
verteilen würde als nötig. Außerdem sollten die Spieler bei nicht-negativen Bewertungen v i<br />
nie mehr bezahlen müssen, als ihnen der Ausgang wert ist, und nie Geld erhalten, sondern<br />
nur selbst zahlen.<br />
Definition 92 (Individuelle Rationalität). Ein Mechanismus wird als individuell rational<br />
bezeichnet, falls die Spieler immer einen nicht-negativen Nutzen haben, d. h. falls für alle<br />
i = 1, . . .,n und alle v 1 , . . .,v n gilt, dass v i (f(v 1 , . . .,v n )) − p i (v 1 , . . .,v n ) ≥ 0.<br />
Definition 93 (Positiver Transfer). Ein Mechanismus hat keinen positiven Transfer, falls<br />
keinem Spieler Geld gegeben wird, d. h. für alle Präferenzen v 1 , . . .,v n gilt p i (v 1 , . . .,v n ) ≥ 0.<br />
Die folgende Wahl der Funktionen h i führt dazu, dass der Mechanismus individuell rational<br />
ist und keinen positiven Transfer hat.<br />
Definition 94 (Clarke-Pivot-Funktion). Die Funktion h i (v −i ) = max b∈A<br />
∑j≠i v j(b) heißt<br />
Clarke-Pivot-Funktion.<br />
Diese Wahl der h i führt zu Bezahlfunktionen p i (v 1 , . . .,v n ) = max b∈A<br />
∑j≠i v j(b)− ∑ j≠i v j(a),<br />
wenn a = f(v 1 , . . . , v n ). Damit bezahlt Spieler i genau die Differenz zwischen dem, was die<br />
anderen Spieler zusammen ohne ihn erreichen könnten, und dem, was sie mit ihm erreichen.<br />
Beispiel 95. Angenommen, wir haben zwei Spieler 1 und 2 sowie zwei Alternativen a<br />
und b mit v 1 (a) = 10, v 1 (b) = 2, v 2 (a) = 9 und v 2 (b) = 15. Ohne Spieler 1 maximiert<br />
Alternative b wegen v 2 (b) = 15 > 9 = v 2 (a) die Summe über die Bewertungen<br />
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