Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Definition 91 (Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus). Ein Mechanismus (f, p 1 , . . .,p n ) heißt
Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus (VCG-Mechanismus), falls
1. f(v 1 , . . . , v n ) ∈ argmax a∈A
∑ n
i=1 v i(a) für alle v 1 , . . .,v n und
2. es Funktionen h 1 , . . .,h n mit h i : V −i → R gibt, so dass p i (v 1 , . . .,v n ) = h i (v −i ) −
∑
j≠i v j(f(v 1 , . . .,v n )) für alle i = 1, . . .,n und v 1 , . . .,v n .
Da h i (v −i ) von der deklarierten Präferenz von Spieler i unabhängig ist, kann Spieler i diesen
Wert als Konstante c betrachten. Also erhält Spieler i den Nutzen v i (f(v 1 , . . .,v n )) +
∑j≠i v j(f(v 1 , . . .,v n )) − c = ∑ n
j=1 v j(f(v 1 , . . .,v n )) − c.
Satz 26 (Vickrey-Clarke-Groves). Jeder VCG-Mechanismus ist anreizkompatibel.
Beweis. Seien i, v −i , v i und v i ′ gegeben. Zu zeigen ist, dass der Nutzen bei Deklaration der
wahren Präferenz v i mindestens so hoch ist wie bei der Deklaration der falschen Präferenz v i ′.
Sei dazu a = f(v i , v −i ) und a ′ = f(v i ′, v −i). Der Nutzen von Spieler i ist v i (a ′ )+ ∑ j≠i v j(a ′ )−
h i (v −i ) bei Deklaration von v i ′ und v i(a)+ ∑ j≠i v j(a)−h i (v −i ) bei Deklaration von v i . Da a =
f(v i , v −i ) die soziale Wohlfahrt über alle Alternativen maximiert, gilt v i (a) + ∑ j≠i v j(a) ≥
v i (a ′ )+ ∑ j≠i v j(a ′ ). Die Ungleichung gilt natürlich auch, wenn man auf beiden Seiten h i (v −i )
subtrahiert, und damit ist v i (f(v i , v −i )) − p i (v i , v −i ) ≥ v i (f(v i ′, v −i)) − p i (v i ′, v −i).
6.5.3 Die Clarke-Pivot-Regel
Wir haben bislang noch offengelassen, wie man die Bezahlfunktionen bzw. die Funktionen h i
sinnvoll wählen kann. Alle h i durch h i (v −i ) = 0 zu definieren, wäre zwar zulässig, hätte aber
den Nachteil, dass der Mechanismus dadurch im Allgemeinen viel mehr Geld an die Spieler
verteilen würde als nötig. Außerdem sollten die Spieler bei nicht-negativen Bewertungen v i
nie mehr bezahlen müssen, als ihnen der Ausgang wert ist, und nie Geld erhalten, sondern
nur selbst zahlen.
Definition 92 (Individuelle Rationalität). Ein Mechanismus wird als individuell rational
bezeichnet, falls die Spieler immer einen nicht-negativen Nutzen haben, d. h. falls für alle
i = 1, . . .,n und alle v 1 , . . .,v n gilt, dass v i (f(v 1 , . . .,v n )) − p i (v 1 , . . .,v n ) ≥ 0.
Definition 93 (Positiver Transfer). Ein Mechanismus hat keinen positiven Transfer, falls
keinem Spieler Geld gegeben wird, d. h. für alle Präferenzen v 1 , . . .,v n gilt p i (v 1 , . . .,v n ) ≥ 0.
Die folgende Wahl der Funktionen h i führt dazu, dass der Mechanismus individuell rational
ist und keinen positiven Transfer hat.
Definition 94 (Clarke-Pivot-Funktion). Die Funktion h i (v −i ) = max b∈A
∑j≠i v j(b) heißt
Clarke-Pivot-Funktion.
Diese Wahl der h i führt zu Bezahlfunktionen p i (v 1 , . . .,v n ) = max b∈A
∑j≠i v j(b)− ∑ j≠i v j(a),
wenn a = f(v 1 , . . . , v n ). Damit bezahlt Spieler i genau die Differenz zwischen dem, was die
anderen Spieler zusammen ohne ihn erreichen könnten, und dem, was sie mit ihm erreichen.
Beispiel 95. Angenommen, wir haben zwei Spieler 1 und 2 sowie zwei Alternativen a
und b mit v 1 (a) = 10, v 1 (b) = 2, v 2 (a) = 9 und v 2 (b) = 15. Ohne Spieler 1 maximiert
Alternative b wegen v 2 (b) = 15 > 9 = v 2 (a) die Summe über die Bewertungen
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