Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Die Kanten (A, B) und (A, C) zu entfernen ist nur eine Möglichkeit, den Graphen azyklisch
zu machen. Weitere Möglichkeiten sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Eliminierte Kanten Gewicht Optimal Gewinner
(A, B), (A, C) 2 ja B
(A, B), (C, D) 2 ja B
(B, C), (B, D) 6 nein
(B, D), (C, D) 2 ja D
(B, D), (D, A) 4 nein
(D, A) 3 nein
Unter diesen Möglichkeiten sind aber die mit minimalem Gewicht, hier 2, für uns interessant,
da das Gesamtgewicht der entfernten Kanten gerade der Anzahl der in der resultierenden
Präferenzliste verletzten individuellen Präferenzen entspricht, welche wir minimieren wollen.
Beachte, dass das Entfernen der Kanten (A, B) und (A, C) einerseits und das Entfernen
der Kanten (B, D) und (C, D) andererseits jeweils zu gleich guten Ergebnissen führt, aber
in den beiden Fällen unterschiedliche Kandidaten, nämlich B bzw. D, die resultierenden
Präferenzlisten anführen.
Dass die Berechnung des Gewinners mit dem Verfahren von Kemeny-Young NP-schwer ist,
kann durch Reduktion des Feedback-Arc-Set-Problems (FAS) gezeigt werden.
Satz 24 ([BTT89]). Die Bestimmung der resultierenden Präferenzordnung sowie des Gewinners
beim Kemeny-Young-Verfahren ist NP-schwer.
Beweisskizze. Reduktion von Feedback-Arc-Set. Sei π(R) eine feste Permutation über B
und π ′ (B) die umgekehrte Reihenfolge. Gegeben G = (V, A) und k ∈ N. Für eine Kante
(a, b) ∈ A führen wir Wähler ein, die folgende Präferenzen haben:
1. a, b, π(A \ {a, b})
2. π ′ (A \ {a, b}), a, b
Der entstandene Dominanzgraph entspricht dem Orginalgraphen G mit uniformen Kantengewicht
2. Damit können wir FAS berechnen.
6.5 Mechanismen mit Geldeinsatz
Bisher wurden Alternativen mittels Präferenzordnungen bewertet. Nun wollen wir stattdessen
Geld zur Bewertung verwenden und führen dazu Funktionen v i : A → R ein, so dass
v i (a) die Bewertung von Alternative a durch Agent i ist. Zusätzlich kann den Agenten Geld
bezahlt (oder von ihnen verlangt) werden, wobei m i ∈ R der Betrag ist, den Agent i erhält.
Sein Nutzen ist dann u i (a) = v i (a) + m i .
6.5.1 Vickrey-Auktion (Zweitpreisauktion)
Gegeben sind n Mitspieler, die ein zu versteigerndes Objekt jeweils privat mit Wert w i
belegen. Gewünscht ist, dass der Mitspieler mit der höchsten Bewertung w i das Objekt
48