Spieltheorie
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6 Mechanismusdesign<br />
Beispiel 86. Gegeben seien die 9 Wählerpräferenzen über den Kandidaten A, B, C, D wie<br />
in der linken Tabelle angegeben. Es ergeben sich die paarweisen Vergleiche zwischen den<br />
Kandidatenwie in der rechten Tabelle.<br />
3mal 2mal 2mal 2mal<br />
Erstpräferenz A D D C<br />
Zweitpräferenz B A B B<br />
Drittpräferenz C B C D<br />
Viertpräferenz D C A A<br />
d(·, ·) A B C D<br />
A 5 5 3<br />
B 4 7 5<br />
C 4 2 5<br />
D 6 4 4 <br />
Die Ergebnisse der paarweisen Vergleiche können wir als Graphen über der Menge der Kandidaten<br />
darstellen, in dem zwischen je zwei Kandidaten X und Y genau eine gerichtete<br />
Kante existiert, gerichtet vom Gewinner, o.B.d.A X, zum Verlierer, o.B.d.A Y , der Paarung,<br />
und beschriftet mit dem Wert d(X, Y ) (Abbildung unten links). Die Bestimmung der<br />
Werte p(X, Y ) geschieht durch die Ermittlung von stärksten Pfaden in diesem Graphen. Im<br />
vorliegenden Beispiel erhalten wir die Werte von p(X, Y ) wie in der Abbildung unten rechts.<br />
6<br />
A<br />
D<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
B<br />
C<br />
7<br />
p(·, ·) A B C D<br />
A 5 5 5<br />
B 5 7 5<br />
C 5 5 5<br />
D 6 5 5 <br />
Zur Bestimmung der potentiellen Sieger müssen wir ermitteln für welche Kandidaten A gilt,<br />
dass p(A, X) ≥ p(X, A) für alle anderen Kandidaten X ≠ A. Dies sind offensichtlich genau<br />
die Kandidaten B und D.<br />
6.4.6 Kemeny-Young-Methode<br />
Mit dem Verfahren von Kemeny-Young gibt es sogar eine Condorcet-Methode (als soziale<br />
Wohlfahrts-, nicht Entscheidungsfunktion), bei der der Gewinner NP-schwer zu berechnen<br />
ist.<br />
Die Kemeny-Young-Methode basiert auf sogenannten Dominanzgraphen, die eine Dominanzkante<br />
zwischen A und B mit dem Gewicht |{i|A ≻ i B}| − |{i|B ≻ i A}| = d(A, B) −<br />
d(B, A) enthalten, falls diese Differenz positiv ist.<br />
Beispiel 87. Betrachte die Wählerpräferenzen aus Beispiel 86. Dann erhalten wir den unten<br />
links abgebildeten Dominanzgraphen. Entfernt man Kanten mit minimalem Gewicht, so daß<br />
der Graph zyklenfrei wird, und sortiert dann eindeutig, so ist der Gewinner ein Meistpräferierter.<br />
Wenn wir (A, B) und (A, C) streichen, so haben die entfernten Kanten Gewicht 2.<br />
Also gewinnt Kandidat B (vgl. Abbildung unten rechts).<br />
A<br />
1<br />
B<br />
A<br />
B<br />
3<br />
1<br />
1<br />
5<br />
3<br />
1<br />
5<br />
D<br />
1<br />
C<br />
D<br />
1<br />
C<br />
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