Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Beispiel 86. Gegeben seien die 9 Wählerpräferenzen über den Kandidaten A, B, C, D wie
in der linken Tabelle angegeben. Es ergeben sich die paarweisen Vergleiche zwischen den
Kandidatenwie in der rechten Tabelle.
3mal 2mal 2mal 2mal
Erstpräferenz A D D C
Zweitpräferenz B A B B
Drittpräferenz C B C D
Viertpräferenz D C A A
d(·, ·) A B C D
A 5 5 3
B 4 7 5
C 4 2 5
D 6 4 4
Die Ergebnisse der paarweisen Vergleiche können wir als Graphen über der Menge der Kandidaten
darstellen, in dem zwischen je zwei Kandidaten X und Y genau eine gerichtete
Kante existiert, gerichtet vom Gewinner, o.B.d.A X, zum Verlierer, o.B.d.A Y , der Paarung,
und beschriftet mit dem Wert d(X, Y ) (Abbildung unten links). Die Bestimmung der
Werte p(X, Y ) geschieht durch die Ermittlung von stärksten Pfaden in diesem Graphen. Im
vorliegenden Beispiel erhalten wir die Werte von p(X, Y ) wie in der Abbildung unten rechts.
6
A
D
5
5
5
5
B
C
7
p(·, ·) A B C D
A 5 5 5
B 5 7 5
C 5 5 5
D 6 5 5
Zur Bestimmung der potentiellen Sieger müssen wir ermitteln für welche Kandidaten A gilt,
dass p(A, X) ≥ p(X, A) für alle anderen Kandidaten X ≠ A. Dies sind offensichtlich genau
die Kandidaten B und D.
6.4.6 Kemeny-Young-Methode
Mit dem Verfahren von Kemeny-Young gibt es sogar eine Condorcet-Methode (als soziale
Wohlfahrts-, nicht Entscheidungsfunktion), bei der der Gewinner NP-schwer zu berechnen
ist.
Die Kemeny-Young-Methode basiert auf sogenannten Dominanzgraphen, die eine Dominanzkante
zwischen A und B mit dem Gewicht |{i|A ≻ i B}| − |{i|B ≻ i A}| = d(A, B) −
d(B, A) enthalten, falls diese Differenz positiv ist.
Beispiel 87. Betrachte die Wählerpräferenzen aus Beispiel 86. Dann erhalten wir den unten
links abgebildeten Dominanzgraphen. Entfernt man Kanten mit minimalem Gewicht, so daß
der Graph zyklenfrei wird, und sortiert dann eindeutig, so ist der Gewinner ein Meistpräferierter.
Wenn wir (A, B) und (A, C) streichen, so haben die entfernten Kanten Gewicht 2.
Also gewinnt Kandidat B (vgl. Abbildung unten rechts).
A
1
B
A
B
3
1
1
5
3
1
5
D
1
C
D
1
C
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