Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Anzahl Wähler 39 14 5 42
Erster in Präferenzliste A A C C
Zweiter in Präferenzliste C C A A
Also hat Anton in der zweiten Runde nun 53 Erstpräferenzen, während Claus 47 Erstpräferenzen
hat. Anton gewinnt also die Wahl.
Ein Nachteil dieses Verfahrens ist, dass ”
Kompromisskandidaten“ keine Chance haben. In
Beispiel 84 wäre Berta eine solche Kandidatin, da sowohl für eine Mehrheit der Wähler
(nämlich 61 von 100) Anton ≺ i Berta als auch für eine Mehrheit der Wähler (nämlich 58
von 100) Claus ≺ i Berta gilt. Damit wäre Berta eine gute Kompromisskandidatin, obwohl
sie nur bei wenigen Wählern auf dem ersten Platz steht.
6.4.4 Condorcet-Methoden
Definition 85 (Condorcet-Methoden). Bei Condorcet-Methoden gibt jeder Wähler eine
Präferenzliste ab und ein Kandidat gewinnt, wenn er beim paarweisen Vergleich von
Kandidaten immer eine Majorität hat.
In Beispiel 84 gewinnt Kandidatin Berta alle paarweisen Vergleiche (61 zu 39 gegen Anton
und 58 zu 42 gegen Claus), wäre also bei einem Condorcet-Verfahren gewählt.
Der Hauptnachteil von Condorcet-Methoden ist, dass es wegen des Condorcet-Paradoxons
nicht immer einen Sieger gibt. In diesem Fall wendet man spezielle Methoden, wie etwa die
Copeland-Methode, an, bei der gezählt wird, wie oft ein Kandidat in paarweisen Vergleichen
gewinnt, und der Kandidat, bei dem diese Anzahl am höchsten ist, gewinnt. Auch hier sind
noch unentschiedene Situationen möglich. In den beiden folgenden Abschnitten wollten wir
zwei weitere Condorcet-Methoden betrachten.
6.4.5 Schulze-Methode
Bei der Schulze-Methode handelt es sich um eine Verfeinerung der Condorcet-Methode.
Sie wird in vielen Open-Source-Projekten zur internen Entscheidungsfindung eingesetzt.
Sei d(X, Y ) die Anzahl der paarweise Vergleichen zwischen X und Y , bei denen X gewonnen
hat. Die Schulze-Methode basiert auf Pfaden C 1 , . . .,C n zwischen Kandidaten X und Y
mit der Stärke z. Dabei ist die Stärke einer Kette die ihres schwächsten Gliedes, genauer:
C 1 , . . .,C n ist ein Pfad der Stärke z von X nach Y , wenn
1. C 1 = X
2. C n = Y
3. d(C i , C i+1 ) > d(C i+1 , C i ) für alle i = 1, . . .,n − 1
4. d(C i , C i+1 ) ≥ z für alle i = 1, . . .,n − 1 und es existiert ein j, so daß d(C j , C j+1 ) = z.
Wir definieren dann p(X, Y ) = z als das maximale z, so dass es einen Pfad der Stärke z von
X nach Y gibt, und p(X, Y ) = 0, falls kein Pfad von X nach Y existiert.
Der Schulze-Gewinner ist der Condorcet-Gewinner, falls ein solcher exisiert, sonst ist ein potentieller
Gewinner ein Kandidat A, für den gilt, dass p(A, X) ≥ p(X, A) für alle Kandidaten
X ≠ A.
46