Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Definition 80 (Erweiterung einer sozialen Entscheidungsfunktion). Die Funktion F : L n →
L, die die soziale Entscheidungsfunktion f erweitert, ist definiert durch:
F(≺ 1 , . . .,≺ n ) = ≺,
wobei a ≺ b gdw. f(≺ {a,b}
1 , . . .,≺ {a,b}
n ) = b für alle a, b ∈ A, a ≠ b.
Lemma 21. Falls f eine anreizkompatible und surjektive soziale Entscheidungsfunktion ist,
dann ist ihre Erweiterung F eine soziale Wohlfahrtsfunktion.
Beweis. Zu zeigen ist, dass die resultierende Relation eine strikte lineare Ordnung ist, also
asymmetrisch, total und transitiv.
Asymmetrie und Totalität: Wegen des Top-Präferenz-Lemmas ist f(≺ {a,b}
1 , . . .,≺ n {a,b} )
eines von a oder b, d. h. a ≺ b oder b ≺ a, aber nicht beides (Asymmetrie) und nicht
keines von beiden (Totalität).
Transitivität: Wir dürfen die Totalität schon voraussetzen. Angenommen, ≺ wäre nicht
transitiv, d. h. a ≺ b und b ≺ c, aber nicht a ≺ c, für geeignete a, b und c. Wegen
der Totalität hätten wir dann c ≺ a. Betrachte S = {a, b, c} und sei ohne Beschränkung
der Allgemeinheit f(≺ {a,b,c}
1 , . . .,≺ n
{a,b,c} ) = a. Wegen der Monotonie von
) = a durch schrittweise Änderung von ≺ {a,b,c}
i
f folgt f(≺ {a,b}
1 , . . .,≺ n
{a,b}
Also haben wir b ≺ a im Widerspruch zur Annahme.
zu ≺ {a,b}
i .
Lemma 22 (Erweiterungslemma). Falls f eine anreizkompatible, surjektive und nichtdiktatorische
soziale Entscheidungsfunktion ist, so ist ihre Erweiterung F eine soziale Wohlfahrtsfunktion,
die Einstimmigkeit, Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen und nichtdiktatorische
Entscheidung erfüllt.
Beweis. Wir wissen schon, dass die Erweiterung eine soziale Wohlfahrtsfunktion ist und
müssen noch Einstimmigkeit, Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen und Nicht-
Diktatur zeigen.
Einstimmigkeit: Sei a ≺ i b für alle i. Dann ist (≺ {a,b}
i ) {b} = ≺ {a,b}
i . Wegen des Top-
Präferenz-Lemmas folgt f(≺ {a,b}
1 , . . .,≺ n {a,b} ) = b, also a ≺ b.
Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: Falls für alle i gilt, dass a ≺ i b gdw.
a ≺ ′ i b, dann muss f(≺{a,b} 1 , . . .,≺ n
{a,b} ) = f(≺ ′{a,b}
1 , . . .,≺ n
′{a,b} ) gelten, da sich das Ergebnis
wegen der Monotonie nicht ändert, wenn man schrittweise ≺ {a,b}
i durch ≺ ′{a,b}
i
ersetzt.
Nicht-Diktatur: Offensichtlich.
Nun können wir den Satz von Gibbard-Satterthwaite, das Analogon zum Satz von Arrow für
soziale Entscheidungsfunktionen, beweisen, indem wir eine gegebene soziale Entscheidungsfunktion
zu einer sozialen Wohlfahrtsfunktion erweitern und auf diese den Satz von Arrow
anwenden.
Satz 23 (Satz von Gibbard-Satterthwaite). Falls f eine anreizkompatible und surjektive
soziale Entscheidungsfunktion ist, so dass drei oder mehr Alternativen wählbar sind, dann
ist f diktatorisch.
Mechanismusdesign versucht, die negativen Resultate von Arrow bzw. Gibbard-Satterthwaite
durch Änderungen des Modells zu entschärfen. Die beiden üblicherweise untersuchten Änderungen
sind die Einführung von Geld sowie die Einschränkung der zulässigen Präferenzrelationen.
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