Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Eine alternative Charakterisierung desselben Sachverhalts basiert auf der Monotonie von f.
Definition 77 (Monotonie). Eine soziale Entscheidungsfunktion heißt monoton, falls aus
f(≺ 1 , . . .,≺ i , . . . , ≺ n ) = a, f(≺ 1 , . . .,≺ ′ i , . . .,≺ n) = b und a ≠ b folgt, dass b ≺ i a und
a ≺ ′ i b.
Satz 19. Eine soziale Entscheidungsfunktion ist genau dann monoton, wenn sie anreizkompatibel
ist.
Beweis. Sei f monoton. Wann immer f(≺ 1 , . . . , ≺ i , . . .,≺ n ) = a, f(≺ 1 , . . .,≺ ′ i , . . .,≺ n) = b
und a ≠ b gelten, gilt dann auch b ≺ i a und a ≺ ′ i b. Dann kann es keine ≺ 1, . . . , ≺ n , ≺ ′ i ∈ L
geben, so dass f(≺ 1 , . . .,≺ i , . . .,≺ n ) = a, f(≺ 1 , . . . , ≺ ′ i , . . .,≺ n) = b und a ≺ i b. Umgekehrt
zeigt auch verletzte Monotonie, dass eine Manipulationsmöglichkeit vorliegt.
Der Begriff eines Diktators kann analog zum Diktator für soziale Wohlfahrtsfunktionen auch
für soziale Entscheidungsfunktionen definiert werden.
Definition 78 (Diktator). Wähler i heißt Diktator in einer sozialen Entscheidungsfunktion
f, falls für alle ≺ 1 , . . . , ≺ i , . . .,≺ n ∈ L gilt, dass f(≺ 1 , . . .,≺ i , . . . , ≺ n ) = a, wobei a der
eindeutig bestimmte Kandidat mit b ≺ i a für alle b ∈ A mit b ≠ a ist. Die Funktion f heißt
diktatorisch, falls es einen Diktator in f gibt.
Um das Resultat von Gibbard und Satterthwaite zu beweisen, wollen wir auf den bereits
bewiesenen Satz von Arrow zurückgreifen. Dazu konstruieren wir aus einer sozialen Entscheidungsfunktion
eine soziale Wohlfahrtsfunktion.
Notation 79. Sei S ⊆ A und ≺ ∈ L. Mit ≺ S bezeichnen wir dann die Ordnung, die
wir erhalten, wenn alle Elemente aus S in ≺ ”
nach oben“ geschoben werden, während die
Präferenzen der Elemente in S untereinander sowie der Elemente in A \ S untereinander
beibehalten werden, genauer: Für a, b ∈ S gilt a ≺ S b gdw. a ≺ b, für a, b /∈ S gilt a ≺ S b
gdw. a ≺ b und für a /∈ S, b ∈ S gilt a ≺ S b. Durch diese Bedingungen ist die Ordnung ≺ S
eindeutig bestimmt.
Wir wollen zunächst einige technische Lemmata beweisen. Das erste davon besagt, dass für
anreizkompatible und surjektive soziale Entscheidungsfunktionen f der gewählte Kandidat
zu der Kandidatenmenge S gehört, wenn alle Wähler die Kandidaten aus S an der Spitze
ihrer Präferenzlisten haben.
Lemma 20 (Top-Präferenz). Sei f eine anreizkompatible und surjektive soziale Entscheidungsfunktion.
Dann gilt für alle ≺ 1 , . . .,≺ n ∈ L und alle ∅ ≠ S ⊆ A, dass f(≺ S 1 , . . .,≺ S n) ∈
S.
Beweis. Sei a ∈ S. Da f surjektiv ist, existieren ≺ ′ 1, . . .,≺ ′ n ∈ L, so dass f(≺ ′ 1, . . . , ≺ ′ n) = a.
Nun ändere schrittweise für i = 1, . . .,n die Relation ≺ ′ i zu ≺S i . Zu keinem Zeitpunkt kann
dabei b /∈ S als Ergebnis von f entstehen, da f monoton ist.
Soziale Entscheidungsfunktionen können wie folgt zu sozialen Wohlfahrtsfunktionen erweitert
werden.
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