Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
jeweils je nachdem, ob c ≺ j d oder d ≺ j c.
Wegen der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen gilt für ≺ ′ = F(≺ ′ 1, . . .,≺ ′ n), dass
c ≺ ′ d gdw. c ≺ d. Für (e, d) haben wir die gleichen Präferenzen in ≺ ′ 1, . . .,≺ ′ n wie in π i∗ für
das Paar (a, b) (s.u.). Für j ≠ i ∗ gilt das unabhängig davon, ob c ≺ j d oder d ≺ j c, für j = i ∗
gilt nach Voraussetzung c ≺ j d und damit nach Definition e ≺ ′ j d. Wegen der paarweisen
Neutralität folgt deshalb, dass e ≺ ′ d. Entsprechend haben wir in ≺ ′ 1, . . .,≺ ′ n für (e, c) die
gleichen Präferenzen wie für (a, b) in dem Profil π i∗−1 . Wegen der paarweisen Neutralität
folgt deshalb, dass c ≺ ′ e.
(≺ ′ i) i=1,...,n π i∗ (≺ ′ i) i=1,...,n
1 : a ≺ 1 b e ≺ 1 c a ≺ 1 b e ≺ 1 d
π i∗ −1
i ∗ − 1 : a ≺ i ∗ −1 b e ≺ i ∗ −1 c a ≺ i ∗ −1 b e ≺ i ∗ −1 d
i ∗ : b ≺ i ∗ a c ≺ i ∗ e a ≺ i ∗ b e ≺ i ∗ d
n : b ≺ n a c ≺ n e b ≺ n a d ≺ n e
F : b ≺ i∗−1 a c ≺ ′ e a ≺ i∗ b e ≺ ′ d
Mit Transitivität folgt c ≺ ′ d. Nach Konstruktion von ≺ ′ und mit der Unabhängigkeit
von irrelevanten Alternativen folgt, dass c ≺ d gilt, was zu zeigen war. Der Beweis der
Rückrichtung ist analog.
Nach dem Satz von Arrow ist jede soziale Wohlfahrtsfunktion über einer Menge von mehr
als zwei Alternativen, die Einstimmigkeit und Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
erfüllt, diktatorisch. Viele soziale Wohlfahrtsfunktionen sind jedoch keine Diktaturen
und erfüllen die Einstimmigkeitsforderung. Das Problem liegt daher häufig bei der
Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen. Diese wiederum hängt eng mit der Nicht-
Manipulierbarkeit zusammen, da das Einfügen von irrelevanten Alternativen zwischen dem
bevorzugten Kandidaten und dessen Hauptkonkurrenten bei vielen sozialen Wohlfahrtsfunktionen
das Ergebnis zugunsten des bevorzugten Kandidaten beeinflussen kann, auch wenn
man dessen künstlich in der Angabe der eigenen Präferenzen nach unten gesetzten Hauptkonkurrenten
eigentlich gegenüber den dazwischengesetzten dritten Kandidaten bevorzugt.
Es stellt sich die Frage, ob sich Arrows negatives Resultat auch auf sozialen Entscheidungsfunktionen
übertragen lässt und ob ein Zusammenhang zu Arrows Ergebnis besteht.
6.3 Resultat von Gibbard und Satterthwaite
Intuitiv besagt das Resultat von Gibbard und Satterthwaite, dass alle vernünftigen sozialen
Entscheidungsfunktionen manipulierbar sind. Dabei ist eine soziale Entscheidungsfunktion
manipulierbar, wenn ein Wähler i, der b vor a präferiert, b erzwingen kann, wenn er statt
seiner wahren Präferenz ≺ i eine davon verschiedene Präferenz ≺ ′ i angibt.
Definition 76 (Strategische Manipulation, Anreizkompatibilität). Eine soziale Entscheidungsfunktion
kann durch Wähler i strategisch manipuliert werden, falls es Präferenzen
≺ 1 , . . .,≺ i , . . .,≺ n , ≺ ′ i ∈ L gibt, so dass a ≺ i b gilt für a = f(≺ 1 , . . .,≺ i , . . .,≺ n ) und
b = f(≺ 1 , . . .,≺ ′ i , . . .,≺ n). Die Funktion f heißt anreizkompatibel, falls f nicht strategisch
manipulierbar ist.
42