Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
neues Präferenzprofil ≺ ′′
1, . . .,≺ ′′ n. Dabei sei c ≺ ′′
i a und b ≺′′ i d für alle i = 1, . . . , n, während
die Ordnung der Paare (a, b) aus ≺ i und (c, d) aus ≺ ′ i übernommen wird.
Wegen der Einstimmigkeit folgt c ≺ ′′ a und b ≺ ′′ d für ≺ ′′ = F(≺ ′′
1 , . . .,≺′′ n). Wegen der
Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen gilt a ≺ ′′ b. Dann folgt mit Transitivität, dass
c ≺ ′′ d. Mit der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen folgt schließlich, dass c ≺ ′ d.
Die Rückrichtung der Äquivalenz wird analog bewiesen.
Beispiel 75. Dieses Beispiel illustriert die Konstruktion des Präferenzprofils ≺ ′′
1 , . . .,≺′′ n im
obigen Beweis. Gelte etwa
Dann könnte ≺ ′′
i
Insbesondere wäre also a ≺ ′′
i
e ≺ i a ≺ i c ≺ i b ≺ i f
g ≺ ′ i a ≺ ′ i f ≺ ′ i c ≺ ′ i d
die Alternativen a, b, c und d etwa so anordnen:
· · · ≺ ′′
i c ≺ ′′
i · · · ≺ ′′
i a ≺ ′′
i · · · ≺ ′′
i b ≺ ′′
i · · · ≺ ′′
i d ≺ ′′
i . . .
b und c ≺′′ i d.
Satz 18 (Arrows Unmöglichkeitssatz). Jede soziale Wohlfahrtsfunktion über einer Menge
von mehr als zwei Alternativen, die Einstimmigkeit und Unabhängigkeit von irrelevanten
Alternativen erfüllt, ist diktatorisch.
Beweis. Betrachte zwei Elemente a, b ∈ A mit a ≠ b und konstruiere eine Folge (π i ) i=0,...,n
von Präferenzprofilen, so dass in π i genau die ersten i Wähler b vor a präferieren, d. h. a ≺ j b
gdw. j ≤ i:
π 0 . . . π i∗ −1
π i∗ . . . π n
1 : b ≺ 1 a . . . a ≺ 1 b a ≺ 1 b . . . a ≺ 1 b
.
.
. .. .
.
. .. .
i ∗ − 1 : b ≺ i ∗ −1 a . . . a ≺ i ∗ −1 b a ≺ i ∗ −1 b . . . a ≺ i ∗ −1 b
i ∗ : b ≺ i ∗ a . . . b ≺ i ∗ a a ≺ i ∗ b . . . a ≺ i ∗ b
.
.
. .. . .
. .
. .. . .
n : b ≺ n a . . . b ≺ n a b ≺ n a . . . a ≺ n b
F : b ≺ 0 a . . . b ≺ i∗−1 a a ≺ i∗ b . . . a ≺ n b
Wegen der Einstimmigkeit gilt für ≺ 0 = F(π 0 ), dass b ≺ 0 a, und für ≺ n = F(π n ) gilt,
dass a ≺ n b. Also muss es einen minimalen Index i ∗ geben, so dass b ≺ i∗−1 a und a ≺ i∗ b,
wenn ≺ i∗−1 = F(π i∗−1 ) und ≺ i∗ = F(π i∗ ). Wir zeigen, dass i ∗ ein Diktator ist. Betrachte
zwei Elemente c, d ∈ A mit c ≠ d. Wir werden zeigen, dass c ≺ i ∗ d impliziert, dass c ≺ d,
wenn ≺ = F(≺ 1 , . . .,≺ i ∗, . . .,≺ n ) für beliebige ≺ 1 , . . .,≺ n ∈ L. Betrachte e /∈ {c, d} und
konstruiere ein Präferenzprofil ≺ ′ 1 , . . .,≺′ n, wobei
für j < i ∗ gilt e ≺ ′ j c ≺ ′ j d bzw. e ≺ ′ j d ≺ ′ j c,
für j = i ∗ gilt c ≺ ′ j e ≺ ′ j d bzw. d ≺ ′ j e ≺ ′ j c,
für j > i ∗ gilt c ≺ ′ j d ≺ ′ j e bzw. d ≺ ′ j c ≺ ′ j e,
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