Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
wäre also inkonsistent. Ganz gleich, welcher der drei Kandidaten schließlich gewählt wird,
es gibt immer eine Mehrheit der Wähler, die einen gemeinsamen anderen Kandidaten dem
gewählten vorziehen würde.
Neben der Mehrheitsentscheidung gibt es noch eine Reihe von alternativen Methoden. Dazu
zählt das Borda-Wahlverfahren, bei dem jeder der m Kandidaten vom i-ten Wähler m−j
Punkte erhält, wenn er ihn auf Platz j gewählt hat, wenn also der Kandidat in ≺ i an j-ter
Stelle steht, und wo schließlich für jeden Kandidaten die Punkte, die er von den Wählern
erhalten hat, addiert werden. Daneben gibt es das Pluralitätsverfahren, bei dem der
Kandidat gewinnt, der bei den meisten Wählern auf dem ersten Platz liegt.
Generelle Fragen, die sich nun stellen, sind die Frage, ob es ein ”
vernünftiges“ Wahlverfahren
gibt und wie resistent einzelne Verfahren gegen Manipulierbarkeit sind.
6.2 Arrows Unmöglichkeitsresultat
Arrow postuliert die folgenden Eigenschaften für soziale Wohlfahrtsfunktionen:
1) Totale Einstimmigkeit: Für alle ≺ ∈ L gilt F(≺, . . .,≺) = ≺.
1’) Partielle Einstimmigkeit: Für alle ≺ 1 , ≺ 2 , . . .,≺ n , ≺ ∈ L mit F(≺ 1 , . . .,≺ n ) = ≺
folgt aus a ≺ i b für alle i = 1, . . .,n, dass auch a ≺ b gilt.
2) Nicht-diktatorische Entscheidung: Ein Wähler i heißt Diktator für eine soziale
Wohlfahrtsfunktion F, falls für alle Ordnungen ≺ 1 , . . .,≺ n ∈ L gilt, dass F(≺ 1 , . . .,≺ i ,
. . .,≺ n ) = ≺ i . F heißt nicht-diktatorisch, falls es keinen Diktator für F gibt.
3) Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen (UIA): Ob a ≺ b gilt, sollte nur
von den Präferenzen der Wähler zwischen a und b abhängen, d. h. für alle ≺ 1 , . . .,≺ n ,
≺ ′ 1, . . .,≺ ′ n ∈ L muss gelten: Falls ≺ = F(≺ 1 , . . .,≺ n ) und ≺ ′ = F(≺ ′ 1, . . .,≺ ′ n) und
a ≺ i b gdw. a ≺ ′ i b für alle i = 1, . . .,n, so impliziert dies, dass a ≺ b gdw. a ≺′ b.
Bemerkung 74. Partielle Einstimmigkeit (1’) impliziert totale Einstimmigkeit (1), aber
nicht umgekehrt.
Proposition 16. Aus totaler Einstimmigkeit und Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
folgt partielle Einstimmigkeit.
Beweis. Seien ≺ 1 , . . . , ≺ n ∈ L gegeben mit a ≺ i b für alle Wähler i. Sei ≺ = F(≺ 1 , . . .,≺ n ).
Betrachte ≺ ′ 1, . . . , ≺ ′ n mit ≺ ′ i = ≺ 1 für alle Wähler i. Offensichtlich gilt mit der totalen
Einstimmigkeit, dass ≺ ′ = F(≺ ′ 1, . . . , ≺ ′ n) = F(≺ 1 , . . .,≺ 1 ) = ≺ 1 . Also haben wir a ≺ ′ b.
Da a ≺ i b gdw. a ≺ ′ i b gilt, folgt mit der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen,
dass auch a ≺ b gdw. a ≺ ′ b gelten muss. Da wir wissen, dass a ≺ ′ b gilt, muss auch a ≺ b
gelten.
Lemma 17 (Paarweise Neutralität). Die soziale Wohlfahrtsfunktion F erfülle (totale bzw.
partielle) Einstimmigkeit und Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen. Seien ≺ 1 , . . .,≺ n
und ≺ ′ 1 , . . .,≺′ n zwei Präferenzprofile mit a ≺ i b gdw. c ≺ ′ i d für alle i = 1, . . .,n. Dann gilt
a ≺ b gdw. c ≺ ′ d, wenn ≺ = F(≺ 1 , . . .,≺ n ) und ≺ ′ = F(≺ ′ 1, . . .,≺ ′ n).
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte a ≺ b (sonst benenne die Kandidaten
a und b um) und b ≠ c (sonst benenne a und c sowie b und d um). Wir konstruieren ein
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