Spieltheorie

6 Mechanismusdesign
Beim Mechanismusdesign handelt es sich um einen Teilbereich der Spieltheorie, bei dem es
um die Synthese von Spielen geht. Ziel ist es, eine soziale Entscheidung als Lösung eines
Spiels zu implementieren, also Spiele so zu definieren, dass deren Lösungen (Gleichgewichte)
gerade die gewünschten Ausgänge sind.
Beispiele für soziale Entscheidungen sind Wahlen, das Aufstellen einer Berufungsliste, Auktionen
und Festlegungen von Policies.
Nicht immer werden die Präferenzen der beteiligten Personen ehrlich angegeben. Mechanismusdesign
implementiert die Bestimmung der sozialen Entscheidungen in einer strategischen
Umgebung, in der die Präferenzen der Teilnehmer nicht öffentlich sind.
6.1 Soziale Entscheidungen
Wenn wir über soziale Entscheidungen sprechen, verwenden wir häufig Begriffe aus dem
Kontext von Wahlen (Kandidaten, Wähler, . . . ), müssen dabei aber beachten, dass es neben
Wahlen auch andere soziale Entscheidungen gibt.
Definition 71 (Soziale Wohlfahrtsfunktion und soziale Entscheidungsfunktion). Sei A eine
Menge von Alternativen (Kandidaten) und L die Menge der linearen Ordnungen über A.
Bei n Wählern bezeichnet F : L n → L eine soziale Wohlfahrtsfunktion und f : L n → A
eine soziale Entscheidungsfunktion.
Notation 72. Eine lineare Ordnung ≺ ∈ L wird als Präferenzrelation bezeichnet. Für
Wähler i = 1, . . .,n ist ≺ i die Präferenzrelation dieses Wählers, d. h. a ≺ i b bedeutet, dass
Wähler i den Kandidaten b gegenüber Kandidaten a bevorzugt.
Beispiel 73 (Mehrheitsentscheidung). Die Mehrheitsentscheidung funktioniert gut, wenn
man nur zwischen zwei Alternativen auszuwählen hat. Der Mechanismus funktioniert jedoch
nicht, falls |A| ≥ 3 ist (Condorcet-Paradoxon, 1785). Seien etwa die Präferenzen der drei
Wähler 1, 2 und 3 bezüglich der drei Kandidaten a, b und c wie folgt:
a ≺ 1 b ≺ 1 c
b ≺ 2 c ≺ 2 a
c ≺ 3 a ≺ 3 b
Dann bevorzugt eine relative Mehrheit der Wähler (nämlich Wähler 1 und 3) Kandidaten
b gebenüber a, eine relative Mehrheit (nämlich Wähler 1 und 2) Kandidaten c gegenüber
b und eine relative Mehrheit (nämlich Wähler 2 und 3) Kandidaten a gegenüber c. Würde
man daraus ableiten, dass auch a ≺ b, b ≺ c und c ≺ a gelten müsste, so würde mit
der Transitivität von ≺ auch a ≺ a folgen, was nicht möglich ist, eine solche Definition
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