Spieltheorie

3 Gemischte Strategien
In der ersten der beiden folgenden Abbildungen ist der Graph der Korrespondenz nicht zusammenhängend
und es liegen keine Punkte auf der Fixpunktdiagonalen. Der zweite Graph
ist dagegen zusammenhängend und die Korrespondenz besitzt Fixpunkte.
B(α)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
B(α)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
α
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Definition 36. Eine Menge X ⊆ R n heißt kompakt, wenn sie
0
α
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1. beschränkt ist, d.h. es in jeder Dimension obere und untere Schranken gibt und
2. abgeschlossen ist, d.h. wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von Elementen
aus X selbst in X liegt.
Eine Menge X ⊆ R n heißt konvex, wenn für alle x, y ∈ X und beliebiges λ ∈ [0, 1] gilt:
λx + (1 − λ)y ∈ X.
Eine Korrespondenz f : X → Pot(X) heißt ober-hemi-stetig, falls ihr Graph
eine abgeschlossene Menge ist.
Graph(f) = { (x, y) | x ∈ X, y ∈ f(x) }
Satz 6 (Fixpunktsatz von Kakutani). Sei X ⊆ R n eine nicht-leere, kompakte und konvexe
Menge und sei außerdem f : X → Pot(X) eine ober-hemi-stetige Korrespondenz, so dass
für jedes x ∈ X die Menge f(x) ⊆ X nicht-leer und konvex ist. Dann hat f einen Fixpunkt,
d.h. es existiert ein x ∈ X mit x ∈ f(x).
Beweis. vgl. z. B. [Heu04, Abschnitt 232].
Beweis des Satzes von Nash. Zeige, dass der Fixpunktsatz von Kakutani mit ∏ i ∆(A i) für
X und B für f anwendbar ist.
1. ∏ i ∆(A i) ist nicht-leer, konvex und kompakt: Ein Profil von gemischten Strategien
zu G ist durch M := ∑ i∈N |A i| nicht-negative reelle Zahlen gegeben, so dass sich die
Zahlen, die den Aktionen eines Spielers entsprechen, zu 1 addieren.
Wir interpretieren die Menge der gemischten Strategieprofile für G, symbolisch A :=
∏
i∈N ∆(A i), als Teilmenge des R M . Es ist zu zeigen, dass A nicht-leer, kompakt und
konvex ist.
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