Spieltheorie
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3 Gemischte Strategien<br />
3.1 Überblick<br />
Im letzten Kapitel hat sich gezeigt, dass nicht in jedem Spiel ein Nash-Gleichgewicht existieren<br />
muss (vgl. etwa Matching-Pennies-Spiel). Was kann man in solchen Situationen tun?<br />
Idee: randomisierte Strategien.<br />
Definition 29 (Gemischte Strategie). Sei G = 〈N, (A i ), (u i )〉 ein strategisches Spiel, so dass<br />
alle A i höchstens abzählbar und alle u i beschränkt sind.<br />
Sei ∆(A i ) die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen über der Menge A i . Ein α i ∈<br />
∆(A i ) ist eine gemischte Strategie in G, α i (a i ) die Wahrscheinlichkeit für die Wahl von<br />
a i ∈ A i .<br />
Ein Profil (α i ) i∈N ∈ ∏ i∈N ∆(A i) induziert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf A =<br />
∏<br />
i∈N A i durch<br />
p(a) := ∏ i∈N<br />
α i (a i ).<br />
Für A ′ ⊆ A sei<br />
p(A ′ ) := ∑ p(a) = ∑ ∏<br />
α i (a i ).<br />
a∈A ′ a∈A ′<br />
i∈N<br />
Beispiel 30. Gemischte Strategie im Matching-Pennies-Spiel:<br />
Kopf<br />
Zahl<br />
Kopf 1, −1 −1, 1<br />
Zahl −1, 1 1, −1<br />
Für Spieler 1 betrachte die gemischte Strategie α 1 ∈ ∆({K, Z}) mit<br />
α 1 (K) = 2 3 und α 1(Z) = 1 3 .<br />
Für Spieler 2 betrachte die gemischte Strategie α 2 ∈ ∆({K, Z}) mit<br />
α 2 (K) = 1 3 und α 2(Z) = 2 3 .<br />
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