Gewichtskraft und Masse

Kapitel 1
Gewichtskraft und Masse
1.1 Begriserklärung und Denitionen
Im täglichen Leben bestimmt man die Masse eines Körpers, indem man ihn auf eine Waage
legt und feststellt, wie viele Kilogramm er wiegt. Dabei nutzt man die Tatsache, dass die
Masse eines Körpers umso grösser ist, je schwerer der Körper ist. Dies zeigt, dass im Alltag
meistens nicht zwischen Masse und Gewicht unterschieden wird 1 .
Abbildung 1.1: Beispiel zweier Massen; einmal versucht ein Gewichtheber eine Masse zu
beherrschen; einmal ein Astronaut einen Satelliten im Weltraum. Welche Rolle spielen in
beiden Bildern die Masse bzw. die Gewichtskraft?
Abbildung 1.1 zeigt zwei Beispiele, bei denen die Masse bzw. das Gewicht eine Rolle
spielt. Der Gewichtheber muss einen schweren Körper stemmen; die Gewichtskraft zieht
dabei alle Körper Richtung Erdmittelpunkt. Je grösser die zu stemmende Masse, um so
grösser ist auch die Gewichtskraft. Der Astronaut sieht sich einem Satelliten grosser Masse
gegenüber. In diesem Fall ist der Satellit gewichtslos 2 . Will der Astronaut den Satelliten
bewegen oder drehen, muss er gegen die Masse (Trägheit) ankommen.
1 Frage: Was ist leichter, 1 kg Federn oder 1 kg Blei?
2 In einer Erdumlaufbahn wirkt immer noch die Gewichtskraft auf einen Körper; diese wird allerdings
durch andere Kräfte kompensiert (z.B. die Fliehkraft), so dass ein Körper schwerelos erscheint. Siehe hierzu
auch Tabelle 1.4 auf Seite 7
1

2 KAPITEL 1. GEWICHTSKRAFT UND MASSE
Die Masse m eines Körpers ist ein Maÿ für die Trägheit des Körpers. Sie wird in
der SI-Einheit kg ausgedrückt. Die Masse eines Körpers kann durch Vergleich
mit bekannten Massen mit einer Balkenwaage gemessen. Siehe ebenfalls die
Denition des Urkilogramms.
Das Gewicht (oder Gewichtskraft) F G eines Körpers auf der Erde ist die Kraft,
mit der dieser Körper von der Erde angezogen wird. Das Gewicht eines Körpers
wird in Newton (N) ausgedrückt.
1.2 Die Fallbeschleunigung
1.2.1 Versuchsbeschreibung
Mit einem Kraftmesser wird der Zusammenhang zwischen
Gewichtskraft F G und Masse m ermittelt. Hierzu
werden die Massen der einzelnen Massestücke
(10 g und 50 g) mit einer Waage überprüft und an
den Kraftmesser gehängt. Die Gewichtskraft wird am
Kraftmesser abgelesen.
1.2.2 Messergebnisse
Die mit der Waage gemessenen Massen werden in der ersten Spalte der Tabelle 1.1 eingetragen.
Die am Kraftmesser abgelesenen Gewichtskräfte werden in der zweiten Spalte
eingetragen. Notiere die Messgenauigkeit der Waage und des Kraftmessers.
m (kg)
F G (N)
Mittelwert:
Tabelle 1.1: Messwerte der Gewichtskraft in Abhängigkeit von der Masse
Vergleiche die Werte der beiden ersten Kolonnen. Berechne den Quotient aus Gewichtskraft
und Masse und trage die Werte in der dritten Kolonne ein.

1.2. DIE FALLBESCHLEUNIGUNG 3
1.2.3 Das m − F G -Diagramm
Im folgenden Diagramm wird die Gewichtskraft F G in Abhängigkeit von der Masse m aufgetragen.
Achte auf eine korrekte Beschriftung der Achsen.
✻
✲
Nachdem die Messpunkte eingetragen sind, wird eine Ausgleichsgerade durch die Messpunkte
gelegt. Diese soll möglichst nahe an allen Messpunkten liegen.
Bestimmung der Steigung p der Geraden:
p = ∆F G
∆m
= F G2 − F G1
m 2 − m 1

4 KAPITEL 1. GEWICHTSKRAFT UND MASSE
1.2.4 Beobachtungen und Schlussfolgerungen
Sowohl aus der Messtabelle, als auch aus dem Diagramm lassen sich folgende Schlussfolgerungen
ziehen:
• wird die Masse verdoppelt, verdoppelt sich auch die Gewichtskraft; wird die Masse
verdreifacht, verdreifacht sich auch die Gewichtskraft; u.s.w.
• der Quotient aus Gewichtskraft und Masse ergibt (n?herungsweise) eine Konstante;
• die graphische Darstellung der Gewichtskraft in Abhängigkeit von der Masse ist eine
Gerade, die durch den Ursprung verläuft (Ursprungsgerade).
Aus diesen Beobachtungen kann man schluÿfolgern, daÿ die Gewichtskraft proportional
zur Masse ist; d.h.: F G ∼ m. Anders ausgedrückt:
F G
m = konst = g
F G = m · g (1.1)
g: ortsabhängige Konstante; Fallbeschleunigung
g = 9.81 N kg
(1.2)
Einheit der Fallbeschleunigung
[g] = [F G]
[m]
= N kg
Die Einheit der Fallbeschleunigung ist also N/kg 3 . Der genaue Wert für Mitteleuropa
beträgt: g = 9.81 N/kg. Dies bedeutet, dass eine Masse von einem Kilogramm in Mitteleuropa
eine Gewichtskraft von 9.81 N hat.
3 Die Krafteinheit Newton (N) ist eine zusammengesetzte Einheit. 1 N = 1 kg · m .Führt man die
s 2
Rechnung 1 N = 1 kg·m
kg s 2·kg = 1 m durch, stellt man fest, dass dies der Einheit einer Beschleunigung
s
entspricht. Daher rührt auch der Name 2 Fallbeschleunigung

1.3. DIE FALLBESCHLEUNIGUNG 5
1.3 Die Fallbeschleunigung
Die Fallbeschleunigung, beziehungsweise die Gewichtskraft beschreibt, wie stark ein Körper
von einem Himmelskörper z.B. von der Erde angezogen wird. So hat ein Körper der Masse
m eine geringere Gewichtskraft auf dem Mond als auf der Erde. Die Fallbeschleunigung
hängt von der Masse und vom Radius des jeweiligen Planeten ab 4 . Die Fallbeschleunigung
auf dem Mond beträgt nur 1/6 der Erdbeschleunigung. Somit ist sie von Himmelskörper
zu Himmelskörper unterschiedlich. In folgender Tabelle 1.2 ist die Fallbeschleunigung für
verschiedene Himmelskörper angegeben.
Himmelskörper g(m/s 2 )
Sonne 274 Mars 3.93
Merkur 3.7 Jupiter 25.9
Venus 8.87 Saturn 9.28
Erde 9.81 Uranus 9.01
Mond 1.62 Neptun 1.6
Tabelle 1.2: Fallbeschleunigung an der Oberäche einiger Himmelskörper
Abbildung 1.2: Astronaut mit Gepäck auf der Mondoberäche.
Ein Astronaut hat eine durchschnittliche Masse von 80 kg. Hinzu kommt der Raumanzug
mit dem Lebenserhaltungssystem (PLSS: Protable Life Support System) mit einer
Masse von ebenfalls etwa 80 kg. Somit beträgt die Gesamtmasse 160 kg. Auf der Erde entspricht
diese Masse einer Gewichtskraft von 1600 N. Da die Fallbeschleunigung auf dem
Mond nur ein sechstel der Erdfallbeschleunigung beträgt, ist die Gewichtskraft auf dem
Mond 270 N. Es ist allerdings falsch zu behaupten, dass die Gesamtmasse des Astonauten
auf dem Mond nur 27 kg beträgt, da die Masse unabhängig vom Ort ist.
4 Dieser Zusammenhang lässt sich unter Verwendung des Gravitationsgesetzes von Newton beweisen,
wobei:
F = G m1m2
r 2
G: Gravitationskonstante; m i: Masse des Planeten bzw. des Körpers; r: Abstand zwischen dem Mittelpunkt
beider Körper

6 KAPITEL 1. GEWICHTSKRAFT UND MASSE
Die Fliehkräfte
Unterschiedliche Fallbeschleunigungen ndet man nicht nur auf verschiedenen Himmelkörpern.
Auch auf der Erde unterliegt die Fallbeschleunigung geringen Schwankungen
(Tabelle 1.3). Man erkennt, dass die Fallbeschleunigung am Nord- bzw. Südpol einen maximalen,
am Äquator einen minimalen Wert hat.
Erde g (N/kg)
Nord-, Südpol 9.83
Mitteleuropa 9.81
Äquator 9.78
Tabelle 1.3: Fallbeschleunigungen auf der Erde
Die Erde dreht sich in etwa 24 Stunden 5 um ihre eigene Achse. Hierbei wirken, wie auf
jedem Karussell Fliehkräfte (siehe Abb. 1.3). Diese sind vom Zentrum der kreisförmigen
Bewegung nach aussen gerichtet und nehmen mit zunehmender Geschwindigkeit zu. Ein
Körper, der sich am Äquator bendet bewegt sich mit einer höherern Bahngeschwindigkeit
als ein Körper, der sich auf einem höheren Breitengrad bendet. Auf eine sich am Äquator
bendende Masse wirkt also eine grössere Fliehkraft, als auf einen Körper, der sich auf
einem höheren Breitengrad bendet. Die nach aussen gerichtete Fliehkraft führt zu einer
Verringerung der Gewichtskraft; also zu einer Verringerung der Fallbeschleunigung.
Abbildung 1.3: Darstellung der zurückgelegten Strecken auf der Erdoberäche für ein bestimmtes
Zeitintervall. Je grösser die Bahngeschwindigkeit, um so grösser die radial nach
aussen gerichtete Fliehkraft.
5 Für eine Drehung der Erde um 360 ◦ braucht die Erde 23 h 56 min und 4 s (siderischer Tag); nicht
zu verwechseln mit den 24 h, innerhalb deren die Sonne wieder an der gleichen Stelle am Himmel steht
(synodischer Tag).

1.3. DIE FALLBESCHLEUNIGUNG 7
Die Form der Erde
Neben den auf die Erde wirkenden Fliehkräfte spielt auch die Form der Erde eine Rolle.
Die Erde ist keine perfekte Kugel, sondern an den Polen etwas abgeacht (Abb. 1.4). Man
kann sie vergleichen mit einem Ellipsoid 6 . Somit bendet sich der Erdäquator etwas weiter
vom Erdmittelpunkt entfernt, als die beiden Pole 7 .
Abbildung 1.4: Die Erde kann näherungsweise als Kugel dargestellt werden. Berücksichtigt man
die Polabplattung sowie weitere Einüsse auf das Schwerefeld der Erde, so kann diese auch als
Ellipsoid bzw. als Geoid dargestellt werden.
Die Höhe über dem Erdboden
Die Stärke der Erdanziehungskraft hängt neben der Masse der Erde von der Entfernung
zwischen Erde und Körper ab. Je weiter sich der Körper von der Erde entfernt, um so
geringer ist die Anziehungskraft und somit auch die Erdbeschleunigung. Folgende Tabelle
1.4 gibt einige Beispiele für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse m = 1 kg über
Erdboden an.
F G (N) h (km)
9.8 0
3.1 5 000
1.5 10 000
0.2 36 000
Tabelle 1.4: Gewichtskraft einer Masse von 1 kg in unterschiedlichen Höhen über dem Erdboden.
6 http://de.wikipedia.org/wiki/Geoidbestimmung
7 Der mittlere Erdradius beträgt: R 0 = 6371 km. Der Radius am Äquator beträgt 6378 km, am Pol
6357 km. Die maximale Dierenz beträgt also etwa 21 km

8 KAPITEL 1. GEWICHTSKRAFT UND MASSE
Abbildung 1.5: Fallbeschleunigung g in Abhängigkeit von der Höhe über dem Erdboden.
Aus der Tabelle 1.4 bzw. aus der Abbildung 1.5 ist zu erkennen, dass die Fallbeschleunigung
in z.B. 10 km Höhe etwa 9.79 N/kg und in 300 km Höhe immerhin noch fast
9 N/kg beträgt. In dieser Höhe umkreist die Internationale Raumstation ISS oder das
Space Shuttle die Erde. Dass ein Astronaut schwerelos erscheint liegt nicht daran, dass die
Anziehungskraft der Erde vernachlässigbar ist, sondern dass die Gewichtskraft des Astronauten
durch die auf ihn wirkende Fliehkraft ausgeglichen wird.
1.4 Das Sonnensystem
Abbildung 1.6: Das Sonnensystem. Die Grössenverhältnisse sind im Massstab angegeben, jedoch
nicht die Abstände.

1.5. AUFGABEN 9
Bis vor einigen Jahren wurde Pluto noch als Planet aufgeführt. Seit kurzem wird er
allerdings zur Kategorie der Kleinplaneten gezählt. Somit ist er vergleichbar mit Körpern
aus dem Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter (z.B.: Ceres, Pallas, Juno, ... ) oder
mit Körpern aus dem Kuiper-Gürtel, der sich jenseits des Neptuns bendet. Hier sind
inzwischen Himmelskörper gefunden worden, die zum Teil gröÿer sind als Pluto!
Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun
r (km) 2439 6052 6378 3396 70850 60000 25400 24300
ρ (kg/dm 3 ) 5.4 5.2 5.5 3.9 1.4 0.7 1.3 1.8
R m 57.9 108.2 149.6 227.9 778.3 1427 2870 4497
T (h) 1407 5832 23.93 24.62 9.84 10.24 15.6 18.5
T O 88 d 224.7 d 365.26 d 687 d 11.86 a 29.46 a 84.01 a 164.8 a
Tabelle 1.5: Unser Sonnensystem in Zahlen. r: Radius; ρ: Dichte; R m : mittlere Entfernung
von der Sonne; T : Rotationsperiode; T O : Umlaufzeit um die Sonne.
1.5 Aufgaben
1. Auf einem unbekannten Planeten wird folgende Messreihe aufgenommen:
F G (N) m (kg) . . . . . .
2.2 . . . . . . . . .
8 2.5 . . . . . .
a) Vervollständige die Messreihe.
b) Zeichne das vollständige m − F G -Diagramm.
c) Welche allgemeine Schlussfolgerung kann man aus der Messreihe ziehen?
2. Auf dem Mond wird während einer Messreihe eine Fallbeschleunigung von 1.65 N/kg
gemessen. Der genaue Wert sollte allerdings 1.62 N/kg betragen. Bestimme die absolute
und relative Abweichung.
3. Beträgt die Fallbeschleunigung überall auf dem Mond 1.62 N/kg?
a) Welchen Einuss hat die Eigenrotation des Mondes auf die Fallbeschleunigung?
Erkl?re.
b) Gebe einen weiteren möglichen Grund für die Abweichung an. Erkläre kurz.
4. Wie lange braucht der Mond, um einmal um seine eigene Achse zu drehen?
5. Ein Körper hat eine Gewichtskraft von 10 Newton auf einem ersten Planeten. Welche
Gewichtskraft hat der gleiche Körper auf einem zweiten Planeten, wenn die Fallbeschleunigung
dort 3 mal grösser als auf dem ersten Planeten ist. Das Resultat ist zu
beweisen.
6. Berti der Eisbär hat eine Gewichtskraft von 1200 Newton auf dem Nordpol. Er freut
sich auf seine Reise zum Aquator, denn dort darf er mehr Fisch essen, ohne schwerer
zu sein. Soweit zu seinen Erinnerungen aus dem Physikunterricht. Wieviel Gramm
oder Kilogramm darf Berti nun mehr essen, um das gleiche Gewicht auf die Waage
zu bringen? Lohnt sich die Reise? Welche Masse hätte Berti in der Schwerelosigkeit?

10 KAPITEL 1. GEWICHTSKRAFT UND MASSE

Kapitel 2
Das Federgesetz
Die Äste eines Baumes werden vom Wind gebogen. Der Tennisschläger wird durch den
Schlag auf den Ball verformt. Beide nehmen in der Regel nach der Verformung ihre urspüngliche
Gestalt an. Weitere Beispiele sind in den Abbildungen 2.1 und 2.2 1 dargestellt.
Abbildung 2.1: Moderne Stäbe bestehen aus glasfaserverstärktem Kunststo (GFK), und
haben einen Durchmesser von etwa fünf Zentimetern und sind hohl. Je nach Gewicht und
Kraft des Springers und der Sprunghöhe variiert die Länge und Dicke des Stabes.
Abbildung 2.2: Das Bogenschieÿen beruht auf dem Prinzip eines elastischen Stabes (Bogen),
der mit einer Bogensehne gespannt wird. Je stärker die Spannkraft des Bogens und
je länger der Auszug der Sehne ist, desto schneller, weiter, geradliniger und durchschlagskräftiger
iegt der Pfeil. Die Spannkraft des Bogens variiert zwischen wenigen Pfund (bei
einem Auszug von 28 Zoll) bei Kinderbögen bis über 60 Pfund bei trainierten Schützen.
Man sagt, sie wurden von der Kraft elastisch verformt. Wäre jedoch eine Verformung
zurückgeblieben, so wären sie von der Kraft plastisch verformt worden. Einige Körper
weisen beim Einwirken einer Kraft eine elastische Verformung auf. Ein Beispiel hierfür ist
die Schraubenfeder.
1 1 britisches Pfund (Pound) = 0.453 kg 1 Zoll (inch) = 2.54 cm
11

12 KAPITEL 2. DAS FEDERGESETZ
2.1 Die Federkonstante
2.1.1 Versuchsbeschreibung
Eine Schraubenfeder hat ohne Einwirken
einer Kraft eine natürliche Länge s 0 .
Wirkt eine Kraft F auf diese Feder, so verlängert
sie sich um den Betrag ∆s. In der
folgenden Versuchsreihe wird der Zusammenhang
zwischen der auf eine Schraubenfeder
wirkenden Kraft F und der Verlängerung
∆s der Feder untersucht. Als einfach
zu bestimmende Kräfte werden die
Gewichtskräfte von bekannten Massen genommen.
2.1.2 Messergebnisse
Die Kräfte (aus F = F G = m · g) werden in der ersten Spalte der Tabelle 2.1 eingetragen.
Die an einem Massband abgelesenen Verlängerungen der Schraubenfeder werden
in der zweiten Spalte eingetragen. Bestimme die Genauigkeit der Gewichtskraft und der
gemessenen Verlängerung.
F G (N)
∆s (cm)
Mittelwert:
Tabelle 2.1: Messwerte der Gewichtskraft in Abhängigkeit von der Verlängerung der Feder
Vergleiche die Werte der beiden ersten Kolonnen. Was kann man feststellen? Berechne
den Quotient aus der Gewichtskraft und der Masse und trage die Werte in der dritten
Kolonne ein.

2.1. DIE FEDERKONSTANTE 13
2.1.3 Das m − F G -Diagramm
Im folgenden Diagramm wird die Gewichtskraft F G in Abhängigkeit von der Verlängerung
der Schraubenfeder ∆s aufgetragen. Achte auf eine korrekte Beschriftung der Achsen.
✻
Nachdem die Messpunkte eingetragen sind, wird eine Ausgleichsgerade durch die Messpunkte
gelegt. Diese soll möglichst nahe an allen Messpunkten liegen.
Bestimmung der Steigung p der Geraden:
✲
p = ∆F
∆s
= F 2 − F 1
s 2 − s 1

14 KAPITEL 2. DAS FEDERGESETZ
2.1.4 Beobachtungen und Schlussfolgerungen
Sowohl aus der Messtabelle, als auch aus dem Diagramm lassen sich folgende Schlussfolgerungen
ziehen:
• wird die Kraft verdoppelt, verdoppelt sich auch die Verlängerung; wird die Kraft
verdreifacht, verdreifacht sich auch die Verlängerung; u.s.w.
• der Quotient aus Kraft und Verlängerung ergibt (näherungsweise) eine Konstante;
• die graphische Darstellung der Kraft in Abhängigkeit von der Verlängerung ist eine
Gerade, die durch den Ursprung verläuft.
Aus diesen Beobachtungen kann man schluÿfolgern, daÿ die Kraft F proportional zur
Verlängerung ∆s der Schraubenfeder ist; d.h.: F ∼ ∆s. Anders ausgedrückt:
F
∆s = konst = D
F = D · ∆s (2.1)
Feder- oder Hooke-Gesetz
D: Federkonstante; hängt von der Art der Feder ab
Einheit der Federkonstante
[D] = [F ]
[∆s] = N cm
Die Einheit der Federkonstante ist also N/cm. Beträgt die Federkonstante zum Beispiel
3 N/cm, heisst das, dass eine Kraft von 3 Newton notwendig ist, um die Feder um einen
cm zu verlängern.

2.2. ELASTISCHE UND PLASTISCHE VERFORMUNG 15
2.2 Elastische und plastische Verformung
Für viele Körper ist bei nicht zu groÿen Kräften die Zugkraft F proportional zur Verlängerung
∆s und es gilt das Federgesetz (Hooksches Gesetz). In Abb. 2.3 in Abhängigkeit von
der Verlängerung für zwei unterschiedliche (elastische) Schraubenfedern dargestellt. Man
erkennt, dass die Messpunkte in beiden Fällen auf einer Geraden liegen (die Kraft ist also
proportional zur Verlängerung). Die Geraden weisen jedoch eine unterschiedliche Steigung
(pente) auf. Eine gröÿere Steigung entspricht einer gröÿeren Federkonstante. Nach einer
elastischen Verformung nimmt der Körper wieder seine ursprüngliche Form an.
Abbildung 2.3: Zusammenhang zwischen Kräften und Verlängerungen bei zwei Federn.
In Abb. 2.4 ist die Verlängerung für einen Kupferdraht aufgetragen. Zunächst steigt die
Kraft proportional zur Verlängerung; dies entspricht der elastischen Dehnung des Drahtes.
Ab einer Kraft von etwa 5 N verformt sich der Draht plastisch. Nach einer plastischen
Verformung geht der Körper nicht mehr in seine Ausgangsform zurück.
Abb. 2.5 zeigt die Messungen an einem Gummiband. Die Kraft und die Verlängerung
sind nicht proportional zueinander. Als Folge der Kraft nimmt das Gummiband selbst
bei kleinern Kraftbeträgen seine ursprüngliche Länge nicht wieder an. Wiederholt man
gleich groÿe Krafteinwirkungen auf das Gummiband, so erhält man deshalb verschiedene
Verlängerungen. Aus diesem Grund ist ein Gummiband kein guter Kraftmesser.
Abbildung 2.4: Kräfte und zugehörige Verlängerungen
bei einem Kupferdraht
Abbildung 2.5: Kräfte und zugehörige Verlängerungen
bei einem Gummiband

16 KAPITEL 2. DAS FEDERGESETZ
2.3 Aufgaben
1. Zeichne das ∆s − F -Diagramm für eine Feder mit der Federkonstante D = 1200N/m
im Intervall von 0 cm bis 20 cm.
2. Eine Masse von 700 g wird an einer Feder der Federkonstante D = 5 N/cm befestigt.
Um wieviel cm verlängert sich die Feder.
3. Eine Feder hat eine ursprüngliche Länge von 12 cm. Nachdem eine Masse von 150 g
an ihr befestigt wurde, hat die Feder eine Gesamtlänge von 15.5 cm. Bestimme die
Federkonstante.
4. Ein Würfel aus Eisen mit einer Seitenlänge von 3 cm wird an einer Feder mit der Federkonstante
D = 5 N/cm. Bestimme die Verlängerung der Feder, wenn die Messung
am Nordpol bezw. am Äquator durchgeführt wird.
5. Eine Kugel aus Eisen (7.8 kg/dm 3 ) wird an einer Feder (5 N/cm) befestigt. Auf dem
Planeten Epsilon Drakulanis (12.3 N/kg) verlängert sich die Feder um 7 cm mehr
als auf der Erde. Bestimme die Masse und den Durchmesser der Kugel.
6. Ein Zylinder aus Aluminium, dessen Höhe 8 cm beträgt, dehnt eine Feder auf dem
Mond um 5 cm. Die Feder hat im unbelasteten Zustand eine Länge von 10 cm. Die
Federkonstante beträgt 10 N/cm und die Dichte des Aluminiums beträgt 2.7 kg/dm 3 .
Welchen Radius hat der Zylinder?
7. An einer Feder mit der Gesamtlänge von 20 cm ist eine Masse von 300 g befestigt.
Werden an dieser Feder zusätzlich 100 g befestigt, verlängert sich die Feder um 3 cm.
a) Bestimme die Federkonstante.
b) Bestimme die Länge der Feder ohne Massen.