Skript
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Aus (3): a n =0 (n 2f0 1 g) Aus (4): b n =0 fur n 2f2 4 6 g f t T = ;f(t) (4) 2 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1000 −500 0 500 1000 −1 −1000 −500 0 500 1000 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −0.5 −1 −1000 −500 0 500 1000 −1 −1000 −500 0 500 1000 Abb. 2: Darstellung der Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Dreieckfunktion mit der Periode 2000 und f 0 =1bis zur Ordnung n =3(oben links), n =7(oben rechts), n =15 (unten links) und n =101(unten rechts). Bei zwei Symmetriebedingungen reicht es, uber T zu integrieren, also 0 t T ! 4 4 4f f(t) = 0 T t ! b n = 8 T ! f(t) = 8f 0 2 T Z4 0 ! 4f 0 t sin T = 8f 0 n n 2 sin 2 2 2n T t dt (partielle Integration) sin !t ; 1 3 2 sin(3!t)+ 1 5 2 sin(5!t) ; 1 7 2 sin(7!t)+ Das Phasenspektrum alterniert wieder zwischen 0 und . Amplitudenspektrum: 5
! ! jc 1 j = 8f 0 2 3! ! jc 3 j = 8f 0 (3) 2 5! ! jc 5 j = 8f 0 (5) 2 u.s.w. Eigenschaften der Charakterisierung von Signalen im Frequenzbereich: 1. Ein Oset g(t) =f(t) + const. wirkt sich nur auf den Koezienten a 0 aus. 2. Zeitverschiebung: c 2 n = a 2 n + b 2 n bleibt konstant n andert sich! 3. Allgemein gilt: Unstetigkeiten von f(t) bewirken, da das Amplitudenspektrum mit 1 fallt (siehe n Beispiel 1). Unstetigkeiten von f 0 (t) bewirken, da das Amplitudenspektrum mit 1 n 2 fallt (siehe Beispiel 2). 4. f(t) mu nicht periodisch sein, wenn f(t) nur auf dem endlichen Intervall ; T 2
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Aus (3): a n =0<br />
(n 2f0 1 g)<br />
Aus (4): b n =0 fur n 2f2 4 6 g<br />
<br />
f t T <br />
= ;f(t) (4)<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0.5<br />
0.5<br />
0<br />
0<br />
−0.5<br />
−0.5<br />
−1<br />
−1000 −500 0 500 1000<br />
−1<br />
−1000 −500 0 500 1000<br />
1<br />
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0<br />
0<br />
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−0.5<br />
−1<br />
−1000 −500 0 500 1000<br />
−1<br />
−1000 −500 0 500 1000<br />
Abb. 2: Darstellung der Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Dreieckfunktion mit<br />
der Periode 2000 und f 0 =1bis zur Ordnung n =3(oben links), n =7(oben rechts), n =15<br />
(unten links) und n =101(unten rechts).<br />
Bei zwei Symmetriebedingungen<br />
<br />
reicht es, uber T zu integrieren, also 0 t T !<br />
4 4<br />
4f<br />
f(t) = 0<br />
T<br />
t<br />
! b n = 8 T<br />
! f(t) = 8f 0<br />
2<br />
T<br />
Z4<br />
0<br />
!<br />
4f 0<br />
t sin<br />
T<br />
= 8f <br />
0 n<br />
n 2 sin 2 2<br />
<br />
2n<br />
T<br />
<br />
t dt<br />
(partielle Integration)<br />
<br />
sin !t ; 1 3 2 sin(3!t)+ 1 5 2 sin(5!t) ; 1 7 2 sin(7!t)+ <br />
Das Phasenspektrum alterniert wieder zwischen 0 und .<br />
Amplitudenspektrum:<br />
5
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