Skript

Die 2D-DFT ist die diskrete Form der kontinuierlichen 2D-Fouriertransformation, die durch
die Gleichung
Die inverse 2D-Fouriertransformation folgt dementsprechend der Glei-
beschrieben wird.
chung:
G(f x f y )=
Z1 Z1
;1 ;1
g(x y)e ;j2fxx e ;j2fyy dx dy (91)
g(x y) =
Z1 Z1
;1 ;1
G(f x f y )e j2fxx e j2fyy df x df y : (92)
Als Beispiel sei in diesem Zusammenhang erneut die Fouriertransformierte RECT(f x f y ) der
zweidimensionalen Rechteckfunktion gema Gl.(90) angefuhrt, fur die gilt:
RECT(f x f y ) =
x=2 Z
y=2 Z
;x=2;y=2
e ;j2fxx e ;j2fyy dx dy
= x y sin(2f x x=2) sin(2f y y=2)
2f x x=2 2f y y=2
= x y sinc(2f x x=2) sinc(2f y y=2) (93)
Das Ergebnis ist mit = 2f x x=2 und = 2f y y=2 in Abb. 41 dargestellt (der
Vorfaktor x y wurde gleich 1 gesetzt). Es ist eine Erweiterung der Fouriertransformierten
einer eindimensionalen Rechteckfunktion: Die Rechteckfunktion in x-Richtung ruft die sinc-
Funktion in -Richtung hervor, die Rechteckfunktion in y-Richtung die sinc-Funktion in -
Richtung. (Abb. 37 stellt einen Ausschnitt aus Abb. 41 in der Umgebung des Ursprungs der
Ortsfrequenzebene dar. Die Groe dieses Ausschnitts ergibt sich gema dem Abtasttheorem
aus der maximalen Ortsfrequenz fur ein gegebenes Abtastintervall, d.h. fur einen gegebenen
Pixelabstand)
Die Bedeutung der 2D-Fouriertransformation fur die Bildverarbeitung wird anhand der Bildfolge
42 bis 45 deutlich. Das Eingangsbild (Abb. 42) setzt sich aus drei dominierenden
Geometrieelementen zusammen:
1. einer von oben links nachunten rechts schraerten, naherungsweise rechteckigen Flache,
2. einer von unten links nach obenrechts schraerten, vorwiegend horizontal verlaufenden
Flache,
3. einer einfarbigen Grundache mit zwei kleineren ovalen Elementen.
Abb. 43 zeigt den mittels FFT berechneten Betrag der Fouriertransformierten der Eingangsbildmatrix.
Der Ursprung der f x f y -Ebene liegt in der Bildmitte.
Bei der 2D-DFT werden im Prinzip dieselben Mechanismen wirksam, die bereits im Zusammenhang
mit der Signalverarbeitung erlautert wurden. Die 1. Flache lat sich vereinfacht
als Produkt einer 2D-Rechtfunktion mit einer schrag verlaufenden Sinusfunktion, die
die Schraur reprasentiert, interpretieren. Gema dem Faltungstheorem entspricht diesim
Ortsfrequenzbereich einer Faltung der Fouriertransformierten der 2D-Rechteckfunktion (vgl.
Abb. 41) mit drei -Peaks, einem am Koordinatenursprung (bedingt durch den Oset), einem
bei der positiven Ortsfrequenz der Sinusfunktion (im rechten oberen Quadranten von
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