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Mittelwerte von x 1 , x 2 , n 2f1:::Ng (in Gl.(87) mit x 1 bzw. x 2 bezeichnet) von den jeweiligen diskreten Einzelwerten abgezogen werden. Der Nenner stellt das Produkt der empirischen Standardabweichungen der beiden Folgen dar. In praktischen Anwendungen der Korrelationsanalyse kommt esvor, da zwei Datensatze eine zunachst unbekannte Verschiebung gegeneinander aufweisen. In diesen Fallen ist anstelle von einem einzigen Korrelationskoezienten die diskrete Kreuzkorrelationsfunktion zu berechnen: r 12 (m) = P Nn=1 (x 1n ; x 1 )(x 2(n+m) ; x 2 ) q PNn=1 (x 1n ; x 1 ) 2 P N n=1 (x 2(n+m) ; x 2 ) 2 (88) Der Maximalwert dieser Kreuzkorrelationsfunktion gibt dann ein Ma fur die maximale Ahnlichkeit der beiden Zahlenfolgen an. 5.4.2 Anwendungen der Korrelationsanalyse Bezuglichkonkreter Anwendungen der Korrelationsanalyse mu zwischen stochastischen und deterministischen Signalen unterschieden werden. Im Falle eines mit Rauschen beaufschlagten deterministischen Signals, z.B. eines Sinussignals, dessen Signalfrequenz ermittelt werden soll, erweist sich die Berechnung der Autokorrelationsfunktion als wirksames Mittel zur Rauschunterdruckung. Dies lat sich in Abb. 29 erkennen, in der oben ein stark verrauschtes Sinussignal dargestellt ist und unten die zugehorige cosinusformige AKF, die dieselbe Frequenz hat, wie das ursprungliche Signal, jedochweitaus weniger durch das Rauschen beeinut wird. Lediglich der erste Abtastwert der AKF, der die gesamte Signalleistung reprasentiert, zeigt einen deutlich groeren Wert als ein unverrauschtes Sinussignal. Da sich die gesamte Rauschleistung auf diesen einen Wert konzentriert, hangt damit zusammen, da das Rauschsignal aus unabhangigen Pseudozufallszahlen bestand. Ein Nachteil der Signalanalyse mittels AKF im Vergleich zurFourieranalyse lat sich ebenfalls aus dem Wiener-Khintchine-Theorem ableiten. Wahrend die Fouriertransformierte eines Signals bestehend aus Real- und Imaginarteil bzw. aus Betrag und Phase die gesamte Signalinformation beinhaltet, so da sich das Originalsignal wieder rekonstruieren lat, geht bei der Bildung des Leistungsdichtespektrums und somit auch bei der Berechnung der Autokorrelationsfunktion die Phaseninformation verloren. Der Nutzen der Korrelationsanalyse zur Ermittlung von Charakteristika stochastischer Signale zeigt sich in Abb. 30, in der zwei verschiedene stochastisch uktuierende Lichtintensitatssignale und die zugehorigen Autokorrelationsfunktionen dargestellt sind. Das Signal gema Abb. 30 a) unterscheidet sich von dem Signal gema Abb. 30 b) dadurch, da es eine geringere Anzahl von Intensitatsmaxima bei gleicher Skalierung der Abszisse umfat. Als Folge dieses Charakteristikums zeigt die AKF gema Abb. 30 c) eine groere Breite als die in Abb. 30 d) dargestellte AKF. Als Ma fur die Breite einer AKF wird haug die Korrelationslange verwendet, die als der Wert auf der Abszisse der AKF deniert ist, an dem die AKF von ihrem Maximalwert auf das 1/e-fache dieses Wertes abgefallen ist. Als letzter Anwendungsbereich der Korrelationsanalyse sei die Ermittlung von Kreuzkorrelationsfunktionen bzw. von Korrelationskoezienten genannt, anhand derer sichzwei beliebige unterschiedliche Signale bezuglich ihrer " Ahnlichkeit\ beurteilen lassen. Dies soll an einem Beispiel aus der digitalen Bildverarbeitung demonstriert werden. Die Abbildungen 31 und 61
3 2 Signalamplitude 1 0 −1 −2 −3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Zeit (Abtastpunkte) (a) 3 2 1 AKF 0 −1 −2 (b) −3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Zeit (Abtastpunkte) Abb. 29: Verrauschtes Sinussignal mit SNR = 0 dB (oben), zugehorige AKF mittels zweifacher FFT berechnet (unten). 62
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Fachbereich 4 Produktionstechnik Fa
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6.4.1 2D-Fouriertransformation : :
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Das Diagramm c n uber n! ist das Am
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1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −1
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! ! jc 1 j = 8f 0 2 3! ! jc 3 j =
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mit ! =0 ! 2! ! f(t) = ! = ! 2 +1
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