Skript

Die Lage dieses Fensters relativ zum Signal bestimmt nun den Zeitpunkt, dem das durch
FFT ermittelte Spektrum zugeordnet wird.
Wird beispielsweise der erste von null verschiedene Wert der Fensterfunktion mit dem ersten
Abtastwert (s(0 t)) multipliziert so wird zwangslaug das Zentrum der Fensterfunktion
mit dem Abtastwert M=2 multipliziert, d.h. die Fensterfunktion ist um die Position M=2
zentriert. Um zu einer moglichst vollstandigen "
Zeit-Frequenz-Analyse\ zu gelangen, mu
die Fensterfunktion alle Positionen zwischen M=2 undN ;M=2;1 durchlaufen, und fur jede
dieser Fensterpositionen ist das Spektrum zu berechnen. Eine 3D-Darstellung, in der die resultierende
spektrale Leistungsdichte uber der jeweiligen Fensterposition aufgetragen wird,
nennt man Spektrogramm. Ein solches Spektrogramm ist in Abbildung 28 dargestellt.
Als Eingangssignal wurde die aus N = 512 Abtastwerten bestehende Summe s 1 + s 2 der
beiden Signale aus den Abbildungen 26 a) und b) vorgegeben. Die Fensterfunktion bildete
ein Hanningfenster mit M = 64, so da Leistungsdichtespektren fur die diskreten Zeitpunkte
32 t bis 479 t resultieren. Abb. 28 zeigt deutlich, da das Eingangssignal zwei Signalanteile
unterschiedlicher Frequenz und Amplitude enthalt. Es ist auch zu erkennen, da die
Frequenz und die Amplitude des ursprunglich niederfrequenten Signalanteils linear mit der
Zeit ansteigt, wahrend die Frequenz und die Amplitude des ursprunglich hochfrequenten
Signalanteils linear mit der Zeit abnimmt.
Hinsichtlich weiterer Methoden der Zeit-Frequenz-Analyse, die jedoch den Rahmen dieser
Einfuhrung sprengen, sei auf die Stichworte Wigner-Ville-Spektralanalyse und Wavelet-
Transformation verwiesen.
5.4 Korrelationsanalyse
Eine ahnlich groe Bedeutung wie das Leistungsdichtespektrum fur die Signalanalyse im
Frequenzbereich einnimmt, kommt bei der Zeitbereichsanalyse der Autokorrelationsfunktion
(AKF) des Signals zu. Der gleich hohe Stellenwert dieser beiden Signalanalysemethoden lat
sich daran erkennen, da gema dem Wiener-Khintchine-Theorem (Gl.(25)) das Leistungsdichtespektrum
die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion darstellt (siehe auch
Abschnitt 5.2.2).
5.4.1 Korrelationsfunktionen diskreter Signale
Fur diskrete Signale nimmt die Gleichung zur Bestimmung der AKF die Form
xx (mt) = 1 N
N;1
X
n=0
x(n t)x((n + m)t) (86)
an, die bereits in Abschnitt 5.2.2 verwendet wurde.
Die Ahnlichkeit zweier aus je N Elementen bestehender Zahlenfolgen x 1 und x 2 wird durch
den empirischen (Kreuz-) Korrelationskoezienten
r 12 =
P Nn=1
(x 1n ; x 1 )(x 2n ; x 2 )
q PNn=1
(x 1n ; x 1 ) 2 P N
n=1 (x 2n ; x 2 ) 2 (87)
ausgedruckt, der Werte zwischen +1 und ;1 annehmen kann. Mathematisch exakt handelt es
sich bei dem Zahler von r 12 um den Kreuzkovarianzkoezienten, da die arithmetischen
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