Skript
Skript Skript
Eingangssignal Realteil Imaginärteil Amplitude 1 0 -1 a) 0 32 64 96 Zeit (Abtastpunkte) Eingangssignal Realteil Imaginärteil Amplitude 1 0 -1 b) 0 32 64 96 Zeit (Abtastpunkte) Abb. 25: Analytische Signale fur ein sinusformiges Eingangssignal erzeugt durch diskrete Hilbert Transformation a) bei 3,0 Signalperioden im Abtastfenster und b) bei 3,3 Signalperioden im Abtastfenster (N=128). 55
aus, bei dem die zeitabhangige Amplitude durchdieFunktion s 0 (t)reprasentiert wird und die Phase durch (t). Die zeitabhangige Frequenz f(t) ist proportional zur zeitlichen Ableitung der Phasenfunktion: f(t) = 1 d 2 dt : (83) Ein cosinusformiger Signalverlauf, wie er durch Gl.(74) beschrieben wird, setzt voraus, da die Phasenfunktion (t) linear von der Zeit abhangt. Ist die Phasenfunktion durch gegeben, so resultiert wegen f (t) =2f 0 t 1+ 2 t + 0 (84) f(t) = 1 2 d dt = f 0 (1 + f t) (85) eine lineare zeitliche Frequenzabhangigkeit (vgl. Abb. 26 a) und b)). Das zu einem frequenzmodulierten Signal gehorende Leistungsdichtespektrum erstreckt sich i. allg. uber einen groeren Frequenzbereich, wie Abb. 26 c) zeigt. In dem dargestellten Leistungsdichtespektrum ist zwar zu erkennen, da die niederfrequenten Signalanteile eine geringere Amplitude haben als die hoherfrequenten, allerdings lat sich nichtunterscheiden, ob es sich um ein frequenzmoduliertes oder um ein breitbandiges stationares Signal handelt. Unter der Voraussetzung, da das betrachtete Signal ein Single-Tone-Signal ist, kann diese Problematik auf der Grundlage der aus dem analytischen Signal resultierenden Phasenfunktion ~ n gelost werden. Der gema Gl.(76) bestimmte Phasenverlauf fur das Signal aus Abb. 26 a) ist in Abb. 27 a) dargestellt. Es zeigt sich, da das Zeitintervall, in dem sich die Signalphase um 2 andert, immer geringer wird. Durch Phase-Unwraping\ erhalt man den " in Abb. 27 b) gezeigten, stetigen Verlauf der Signalphase n , der sich oensichtlich durch eine Parabel beschreiben lat. Numerisches Dierenzieren der diskreten Funktion n liefert den gesuchten zeitlichen Frequenzverlauf. Da in praktischen Anwendungsfallen dem reinen Nutzsignal i. allg. ein mehr oder weniger groer Rauschanteil uberlagert ist, stot man bei der numerischen Dierentiation vielfach auf das Problem, da die Resultate, die das zeitliche Frequenzverhalten widerspiegeln sollen, extrem stark stochastisch uktuieren. Abhilfe kann in diesem Zusammenhang geschaen werden, wenn man davon ausgehen kann, da die zeitliche Frequenzanderung langsam erfolgt. In solchen Fallen kann der resultierende Verlauf von n z.B. durch einPolynom zweiter Ordnung approximiert werden, welches auf analytischem Wege zu dierenzieren ist. Fur das linear frequenzmodulierte Signal aus Abb. 26 a) wurde man bei dieser Vorgehensweise ebenfalls den linearen Frequenzanstieg ermitteln. Probleme sind hier allerdings z.B. bei cosinusformig frequenzmodulierten Signalen zu erwarten. Eine Alternative stellt in diesem Zusammenhang eine Methode dar, die unter dem Begri Kurzzeit-Fouriertransformation bzw. Short Time Fourier Transform (STFT) bekannt ist. Das zu analysierende, aus N Abtastwerten bestehende Signal s n wird hierbei zunachst mit einer Fensterfunktion multipliziert, die lediglich in einem Intervall M t (M N) Werte ungleich null annimmt. Das resultierende Produkt dient als Eingangsfunktion eines FFT-Algorithmus, mit dem z.B. die spektrale Leistungsdichte ermittelt wird. 56
- Seite 7 und 8: 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 −0.5 −1
- Seite 9 und 10: ! ! jc 1 j = 8f 0 2 3! ! jc 3 j =
- Seite 11 und 12: mit ! =0 ! 2! ! f(t) = ! = ! 2 +1
- Seite 13 und 14: 0.8 1 f(t) 0.6 0.4 0.2 F(ω) 0.8 0.
- Seite 15 und 16: Da fur die Fouriertransformierte F(
- Seite 17 und 18: 2.4 Faltung und Korrelation mit Del
- Seite 19 und 20: verwendet wird, bei dem eine belieb
- Seite 21 und 22: 4. Dirac-Kamm Unter einem Dirac-Kam
- Seite 23 und 24: 4 Abtastung und diskrete Fouriertra
- Seite 25 und 26: h(t) |H(f)| 2 t -f 0 f 0 f a) konti
- Seite 27 und 28: Wertebereich beispielsweise in 2 8
- Seite 29 und 30: n s f zusammen. Im Fall nicht-ganzz
- Seite 31 und 32: 1 −1 0 20 40 60 a) n 1 b) 10 0 10
- Seite 33 und 34: 1 −1 0 20 40 60 a) n 1 b) 10 0 10
- Seite 35 und 36: Fouriertransformierten S k bzw. des
- Seite 37 und 38: 1 0.25 s 1 (t), s 2 (t) 0.5 0 −0.
- Seite 39 und 40: 1 1 0.5 0.5 s(t) 0 s(t) 0 −0.5
- Seite 41 und 42: idealerweise durch die Amplituden-U
- Seite 43 und 44: die um das Maximum der Impulsantwor
- Seite 45 und 46: l= 1 l= 2 l=L M∆t M∆t M∆t N
- Seite 47 und 48: Amplitude Spektrale Leistungsdichte
- Seite 49 und 50: Da ein hoher spektraler Peak einen
- Seite 51 und 52: 5 h n 0 a) −5 0 20 40 60 80 100 1
- Seite 53 und 54: 1. durch die Mittelung einer Anzahl
- Seite 55 und 56: eines reellen Signals, die positive
- Seite 57: 2 1 a(t) 0 −1 a) −2 0 50 100 15
- Seite 61 und 62: 150 100 φ(t) (Grad) 50 0 −50 −
- Seite 63 und 64: Abb. 28: Resultat der auf der Kurzz
- Seite 65 und 66: 3 2 Signalamplitude 1 0 −1 −2
- Seite 67 und 68: Abb. 32: CCD-Aufnahme 2 (512 256 P
- Seite 69 und 70: dem Faltungs- bzw. Korrelationstheo
- Seite 71 und 72: Computer / Arbeitsspeicher Lichtque
- Seite 73 und 74: 100 FT{rect(2x/∆x, 2y/∆y)} (µm
- Seite 75 und 76: Funktionswerte der diskreten Kreuzk
- Seite 77 und 78: Analog konnen vertikale Kanten mit
- Seite 79 und 80: 1 |sin(ξ)*sin(η)/(ξ η)| 0.8 0.6
- Seite 81 und 82: 250 200 150 100 50 0 Abb. 44: Multi
- Seite 83: 60 50 50 x´ + 159 (Pixel) 100 150
Eingangssignal Realteil Imaginärteil<br />
Amplitude<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
a)<br />
0 32 64 96<br />
Zeit (Abtastpunkte)<br />
Eingangssignal Realteil Imaginärteil<br />
Amplitude<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
b)<br />
0 32 64 96<br />
Zeit (Abtastpunkte)<br />
Abb. 25: Analytische Signale fur ein sinusformiges Eingangssignal erzeugt durch diskrete<br />
Hilbert Transformation a) bei 3,0 Signalperioden im Abtastfenster und b) bei 3,3 Signalperioden<br />
im Abtastfenster (N=128).<br />
55
Change language