Skript
Skript Skript
Der Realteil dieses Signals stimmt mit dem ursprunglichen Cosinussignal uberein. Der Imaginarteil ist ein um 90 ,d.h.um=2, phasenverschobenes Signal, denn es gilt: Das analytische Signal hat den Phasenverlauf sin(2f 0 t) = cos(2f 0 t ; =2) : arctan sin(2f 0t) cos(2f 0 t) ! =2f 0 t der linear mit der Zeit ansteigt, und die konstante Amplitude je j 2f 0 t j =1: Wie oben bereits erwahnt, fuhrt die Abtastung im Frequenzbereich zu einer periodischen Fortsetzung des Signals im Zeitbereich. Dies schlagt sich, wie Bild 25 zeigt, in Abweichungen des Imaginarteils des durch diskrete Hilbert-Transformation (zweifache Anwendung der FFT) erzeugten analytischen Signals von dem gegenuber dem Eingangssignal um 90 phasenverschobenen Signal nieder, die in Bild 25 b) zu Beginn und gegen Ende des Abtastfensters zu erkennen sind. Um in diesem Zusammenhang systematische Fehler bei der Frequenzschatzung zu vermeiden, empehlt es sich, die Frequenzschatzung ohne diese Phasenwerte durchzufuhren, d.h. es werden z.B. nur die Werte n mit n 2f10:::N ; 11g zur Frequenzschatzung verwendet. 5.3.2 Zeit-Frequenz-Analyse Bei den bisher analysierten deterministischen Signalen handelte es sich i. allg. um sinusbzw. cosinusformige Signale, die aufgrund ihrer spektralen Eigenschaften auch als Single Tone-Signale bezeichnet werden. Die Signalcharakteristika, die bei solchen Signalen von Interesse sind, sind die Signalfrequenz, die Amplitude und ggf. die Phasenlage des Signals bezogen auf ein Referenzsignal. Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt (vgl. Abb. 24 b)), wie sich eine mogliche Amplitudenmodulation eines Signals mittels Hilbert-Transformation erfassen lat. Samtliche bisher betrachteten Signale wurden jedoch alsstationar angenommen, d.h. eine mogliche Zeitabhangigkeit der Signalfrequenz wurde vernachlassigt. Eine wichtige Klasse von Signalen, die bisher ausgeklammert wurde, sind sogenannte frequenzmodulierte Signale, bei denen die in dem Signal enthaltene Information in Form einer Frequenzmodulation, d.h. in Form einer zeitlichen Anderung der Signalfrequenz, codiert ist (z.B. UKW-Signale). Da frequenzmodulierte Signale in der Praxis eine wichtige Rolle spielen, sollen in diesem Abschnitt ausgewahlte Methoden eingefuhrt werden, mit denen sicheinemogliche Frequenzmodulation erfassen lat. Als Beispiel zeigt Abbildung 26 a) ein linear frequenzmoduliertes Signal, bei dem sich die Signalfrequenz linear mit der Zeit erhoht. Auch die Signalamplitude steigt linear mit der Zeit an. In Abbildung 26 b) ist das Gegenteil der Fall: Frequenz und Amplitude nehmen linear mit der Zeit ab. Die Aufgabe der Signalanalyse besteht bei diesen Signalen darin, den zeitlichen Frequenz- und Amplitudenverlauf zu quantizieren. Zur mathematischen Beschreibung gehen wir von einem kontinuierlichen reellen Zeitsignal der allgemeinen Form s(t) =s 0 (t) cos((t)) (82) 53
2 1 a(t) 0 −1 a) −2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Zeit t/∆t 1.5 |a(t)| 1 0.5 b) 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Zeit t/∆t φ(t) (Grad) 100 0 −100 c) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Zeit t/∆t Abb. 24: a) Analytisches Signal a n bestehend aus Realteil (durchgezogen) mit 30 Perioden im Abtastfenster und Imaginarteil (gepunktet), der durch diskrete Hilbert-Transformation erzeugt wurde, b) der Betrag ja n j gibt den Verlauf der Hullkurve, d.h. der Amplitude, des Signals an, c) zeigt den Phasenverlauf ~ n . 54
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- Seite 83: 60 50 50 x´ + 159 (Pixel) 100 150
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Abb. 24: a) Analytisches Signal a n bestehend aus Realteil (durchgezogen) mit 30 Perioden<br />
im Abtastfenster und Imaginarteil (gepunktet), der durch diskrete Hilbert-Transformation<br />
erzeugt wurde, b) der Betrag ja n j gibt den Verlauf der Hullkurve, d.h. der Amplitude, des<br />
Signals an, c) zeigt den Phasenverlauf ~ n .<br />
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