Skript
Skript Skript
Zur Berechnung von Gl.(69) betrachtet man die Ableitung der Signumfunktion: denn es gilt: d sign(t) =2(t) (70) dt (t) = 1 (1 + sign(t)) : (71) 2 Wird die Beziehung aus Gl.(70) der Fourier-Transformation unterzogen, so resultiert: j!SIGN(!) =2: Damit folgt Gl.(69). Die Multiplikation eines kausalen Signals s(t) mit (t) fuhrt zu keiner Veranderung im Zeitbereich. Im Frequenzbereich bewirkt sie jedoch eineFaltung von S(!) =jS(!)j e j(!) mit dem rechten Ausdruck in Gl.(69). Es folgt also: was letztlich auf die Beziehung S(!) = 1 S(!) (!) 2 S(!) = 1 2 S(!) ; j 2 P 8 < : Z1 ;1 S(! 0 ) ! ; ! 0d!0 9 = fuhrt. Da der Integrand eine Singularitat an der Stelle ! 0 = ! hat, ist es erforderlich, das obige Integral als Cauchysches Hauptwertintegral (siehe z.B. Bronstein) zu bestimmen, was durch P f:::g symbolisiert wird. Durch Aufspalten der Funktion S(!) in Real- und Imaginarteil erhalt man die folgende Integraltransformation, die als Hilbert-Transformation bekannt ist. RefS(!)g = 1 P 8 < : ImfS(!)g = ;1 P 8 < : Z1 ;1 Z1 ;1 ImfS(! 0 )g ! ; ! 0 d! 0 9 = (72) RefS(! 0 )g ! ; ! 0 d! 0 9 = : (73) Gema den Gleichungen (72), (73) ergibt sich der Realteil der Fouriertransformierten eines kausalen Eingangssignals als Hilbert-Transformierte des Imaginarteils und umgekehrt. Als Hilbert-Transformierte eines reellen zeitdiskreten Signals s n der Form s n = s 0 cos(2f s nt + 0 ) (74) bezeichnet man ein um 90 phasenverschobenes Signal ~s n , das als Imaginarteil zusammen mit dem ursprunglichen Signal als Realteil das komplexwertige analytische Signal a n = s n + j ~s n bildet. Eine Moglichkeit zur Erzeugung des analytischen Signals besteht inderzweifachen Anwendung eines FFT-Algorithmus. Bei Verwendung von FFT-Algorithmen werden die negativen Frequenzwerte durch kf mit k 2fN=2:::N; 1g reprasentiert. Wegen der Symmetrieeigenschaften der Fouriertransformation enthalten sowohl die Anteile des Frequenzspektrums 51
eines reellen Signals, die positiven Frequenzwerten zugeordnet sind, als auch die negativen Frequenzen zugeordneten Spektralanteile die komplette spektrale Information. Durch die Denition A k = 8 >< >: 0
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eines reellen Signals, die positiven Frequenzwerten zugeordnet sind, als auch die negativen<br />
Frequenzen zugeordneten Spektralanteile die komplette spektrale Information. Durch die<br />
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