Skript

1. durch die Mittelung einer Anzahl voneinander unabhangiger Periodogramme eines stochastischen
Prozesses (Bartlett-Methode)
Diese Methode wurde oben bereits am Beispiel des weien Rauschprozesses erortert
(vgl. Abb. 23). Sie basiert darauf, da die Varianz eines arithmetischen Mittelwertes
bei Mittelung uber N 0 Realisierungen eines Zufallsprozesses sich um den Faktor N 0
gegenuber der Varianz der einzelnen Realisierungen reduziert (vgl. Metechnischer
Grundkurs). Dabei wird vorausgesetzt, da der zu analysierende Proze uber einen
langeren Zeitraum stationar ist, d.h. da sich die statistischen Eigenschaften nicht
innerhalb des Zeitraumes andern, in dem die Mesignale mehrfach aufgezeichnet werden.
2. durch Fensterung der Autokorrelationsfolge im Bereich des Maximums (Blackman-
Tukey-Methode)
Wird beispielsweise in Abb. 22 c) die Autokorrelationsfunktion mit einer Fensterfunktion,
z.B. Gaufunktion, die um den Nullpunkt zentriert ist, multipliziert, so fuhrt
dies im Leistungsdichtespektrum zu einer Faltung mit der Fouriertransformierten der
Fensterfunktion. Eine solche Faltung ist gleichbedeutend mit einer Tiefpalterung
des Leistungsdichtespektrums, so da man als Resultat ein geglattetes Leistungsdichtespektrum
erhalt.
3. durch Fensterung von Datensegmenten des Mesignals (Welch-Methode)
Ein uber einen langeren Zeitraum aufgezeichnetes stochastisches Mesignal wird - wie
bei der Bartlett-Methode - in N 0 Teilsegmente von je L Abtastwerten zerlegt. Jedes
dieser Teilsegmente wird mit einer Fensterfunktion multipliziert und anschlieend mittels
DFT transformiert. Die Fensterung bewirkt in diesem Fall eine Tiefpalterung
der diskreten Fouriertransformierten. Durch Mittelwertbildung fur die N 0 Datenblocke
wird eine weitere Reduzierung der Varianz erreicht. Zur Reduzierung der notwendigen
Anzahl von Mittelungen, kann mit Datensegmenten gearbeitet werden, die sich jeweils
um die Halfte uberlappen. Dadurch erhoht sich die Konvergenz des Verfahrens fur ein
gegebenes Mesignal.
5.3 Hilbert-Transformation und Zeit-Frequenz-Analyse
5.3.1 Hilbert-Transformation zur Erzeugung des analytischen Signals
Die Hilbert-Transformation ist eine Integraltransformation, die den Zusammenhang zwischen
dem Real- und dem Imaginarteil der Fouriertransformierten eines kausalen Signals
mathematisch ausdruckt.
Bei der Herleitung der Hilbert-Transformation geht manvon der Sprungfunktion
(t) =
(
1 fur t 0
0 sonst
(68)
aus und berechnet die zugehorige die Fouriertransformierte:
(!) =(!) ; j ! : (69)
50