Skript
Skript Skript
= N ; n N ; n E fh m h m+n g = N ; n N ; n r h(n t) =r h (n t): (65) In der letzten Zeile bezeichnet r h (n t) den Erwartungswert der Autokorrelationsfunktion. Fur die Analyse stochastischer Prozesse spielen Erwartungswerte eine wichtige Rolle. Wird in Gl.(63) auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens der Erwartungswert gebildet, so resultiert: EfjH k j 2 g = N;1 X n=;(N;1) Ef h (n t)g e ;j 2kn=N (66) wobei die Erwartungswertbildung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens in die Summe hineingezogen wurde. Die Erwartungswerte des Leistungsdichtespektrums und der (nichterwartungstreuen) AKF bilden also ein Fouriertransformations-Paar. Diese Uberlegung sei am Beispiel des weien Rauschprozesses naher erlautert: Der Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums eines weien Rauschprozesses ist eine Konstante K 0 . Die Fouriertransformierte einer Konstanten K 0 entspricht einer mit K 0 multiplizierten Deltafunktion, d.h. die AKF eines weien Rauschprozesses ist ein mit K 0 multiplizierter Delta-Peak an der Stelle t =0. Die Abbildungen 22 und 23 veranschaulichen dies: Abb. 22 a) zeigt ein stochastisches Signal, welches einer Realisierung eines weien Rauschprozesses mit Gauscher Amplitudenverteilung der Varianz 1 entspricht. In den Teilbildern b) und c) sind das zugehorige Leistungsdichtespektrum, das auch alsPeriodogramm bezeichnet wird, und die Autokorrelationsfunktion des Signals dargestellt. Beide Kurvenverlaufe zeigen stochastische Fluktuationen und besitzen deshalb nur eine begrenzte Aussagekraft im Hinblick auf die Beurteilung der statistischen Eigenschaften des Prozesses. Erst die gemittelten Resultate gema Abb. 23 lassen Ruckschlusse auf den Prozess zu, d.h. man kann erkennen, da es sich tatsachlich um weies Rauschen mit der Varianz 1 handelt. Wie oben erwahnt, interessiert hinsichtlich der Beurteilung stochastischer Signale im Frequenzbereich der Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums. Da der Erwartungswert nicht experimentell zu bestimmen ist, wird nach praktischen Moglichkeiten zur Schatzung des Erwartungswertes gesucht. Man konnte zum Beispiel annehmen, da das Periodogramm fur N !1in den Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums ubergeht. Dies hatte zur Folge, da die Varianz des Periodogramms fur N !1gegen null geht und man wurde von einer konsistenten Schatzung sprechen. Die Varianz von jH k j 2 berechnet sich nach der Beziehung: VarfjH k j 2 g = Ef jH k j 2 ; EfjH k j 2 g 2 g = Ef jH k j 2 2 g; EfjHk j 2 g 2 : (67) Der Grenzwert N !1ist gleichbedeutend mit einer langen Abtastzeit, was wegen f = 1=(N t) zu einer hohen Frequenzauosung des Leistungsdichtespektrums fuhrt. Durch eine erhohte Auosung wird jedoch keine Reduzierung der Varianz erzielt, so da diese Methode nicht zu einer konsistenten Schatzung fuhrt. Eine konsistente Schatzung des Erwartungswerts des Leistungsdichtespektrums lat sich mit folgenden drei Methoden erreichen: 47
5 h n 0 a) −5 0 20 40 60 80 100 120 n 8 |H(k ∆f)| 2 6 4 2 b) 0 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 f / ∆f 1.5 ρ h (n ∆t) 1 0.5 0 c) −0.5 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 t / ∆t Abb. 22: a) Weies Rauschsignal mit Gauscher Amplitudenverteilung, b) zugehoriges Leistungsdichtespektrum (mit FFT berechnet), c) durch inverse Fouriertransformation des Leistungsdichtespektrums ermittelte AKF des Signals. 48
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5<br />
h n<br />
0<br />
a)<br />
−5<br />
0 20 40 60 80 100 120<br />
n<br />
8<br />
|H(k ∆f)| 2<br />
6<br />
4<br />
2<br />
b)<br />
0<br />
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80<br />
f / ∆f<br />
1.5<br />
ρ h<br />
(n ∆t)<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
c)<br />
−0.5<br />
−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80<br />
t / ∆t<br />
Abb. 22: a) Weies Rauschsignal mit Gauscher Amplitudenverteilung, b) zugehoriges<br />
Leistungsdichtespektrum (mit FFT berechnet), c) durch inverse Fouriertransformation des<br />
Leistungsdichtespektrums ermittelte AKF des Signals.<br />
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