Skript

Das Diagramm c n uber n! ist das Amplitudenspektrum von f(t). Bei ! =0erhalt man den
" Oset\ von f(t). Das Diagramm n uber n! ist das Phasenspektrum von f(t). C n und n
sind diskrete und nicht kontinuierliche Funktionen, man spricht auchvon Linienspektren.
Wenn T ansteigt, wird ! kleiner ! Linien werden dichter!
Wenn T !1wird aus dem diskreten Spektrum ein kontinuierliches und die Fourier-Reihe
geht in ein Fourier-Integral uber.
Symmetrieeigenschaften:
1. Fur gerade (periodische) Funktionen gilt: f(t) =f(;t)
2. Fur ungerade (periodische) Funktionen gilt: f(t) =;f(;t)
Die Fourier-Reihenentwicklungen von geraden bzw. ungeraden periodischen Funktionen
enthalten nur Kosinus- bzw. nur Sinus-Terme.
3. Eine periodische Funktion mit der Periode T enthalt nur geradzahlige Vielfache von !
(auch Harmonische genannt), wenn gilt: f t T 2 = f(t).
4. Eine periodische Funktion mit der Periode T enthalt nur ungeradzahlige Vielfache von
! (auch Harmonische genannt), wenn gilt: f t T 2 = ;f(t).
5. Jede Funktion kann in gerade und ungerade Anteile zerlegt werden:
f(t) = f(t)+f(;t) f(t) ; f(;t)
+
| {z 2 } | {z 2 }
gerader Anteil ungerader Anteil
Ausnutzen der Symmetrieeigenschaften beschrankt die Anzahl der zu berechnenden
Koezienten und den Integrationsbereich (z.B. auf eine halbe Periode) bei der Fourier-
Reihenentwicklung:
zu 1: f(t) =f(;t) ! b n =0 a n = 4 T
zu 2: f(t) =;f(;t) ! a n =0 b n = 4 T
zu 3:
f
T
R2
t T 2
= f(t) ! geradzahlige n:
0
h
2n
f(t) cos
T
ti
dt
T
R2
0
h
2n
f(t)sin ti
T dt
a n = 4 T
T
Z2
0
f(t) cos()dt
b n = 4 T
T
Z2
0
f(t) sin()dt
zu 4:
ungeradzahlige n: a n = b n =0
f
t T 2
= ;f(t) ! geradzahlige n: an = b n =0
ungeradzahlige n: a n = 4 T
T
R2
0
f(t) cos()dt
b n = 4 T
T
R2
0
f(t)sin()dt
2