Skript

Da ein hoher spektraler Peak einen geringen Schatzfehler bei der Ermittlung der Signalfrequenz
zur Folge hat, empehlt es sich, verrauschte Signale so hochfrequent wie moglich
abzutasten. Eine SNR-Denition, bei der dies berucksichtigt wird, ist durch
SNR 2 = 10 log 10
2 s (N=2 ; 1)
2 n n s
!
: (62)
gegeben, wobei mit n s die Frequenzbandbreite des Signals bezeichnet wird. Bei dieser SNR-
Denition wird die Signalleistung zu dem Produkt aus der mittleren spektralen Rauschleistungsdichte
(n 2 =(N=2 ; 1)) und der Signalbandbreite ins Verhaltnis gesetzt. Fur weies
Rauschen ist das auf diese Weise denierte SNR 2 somit unabhangig von der Abtastfrequenz.
Resultate der SNR-Schatzung gema Gl.(62) sind in den Spektren der Abbildungen 20 und
21 als Def. 2, SNR\ vermerkt. Ein negativer SNR-Wert hat bei dieser Denition zur Folge,
"
da der spektrale Peak des Signals geringer als der mittlere Rauschlevel ist, so da anhand
des diskreten Spektrums keine zuverlassige Frequenzschatzung mehr erfolgen kann.
5.2.2 Stochastische Signale
Stochastische Signale sind das Ergebnis von Zufallsprozessen. Sie werden mit den Methoden
der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben, d.h. die Analyse besteht darin, Erwartungswerte
und Varianzen zu ermitteln. Aufgrund des Wiener-Khintchine-Theorems (siehe Abschnitt
2.2) lat sich das Leistungsdichtespektrum eines Signals durchFouriertransformation
in die Autokorrelationsfunktion uberfuhren. Fur ein aus N Abtastwerten bestehendes Signal
h n mit n =0 1 2:::N ; 1 hat die entsprechende diskrete Beziehung die Form
jH k j 2 =
N;1 X
n=;(N;1)
h (n t)e ;j 2kn=N : (63)
Die in Abschnitt 4.3 angegebene Denition der diskreten Autokorrelationsfunktion wird
hier so abgewandelt, da auch negative n-Werte zugelassen werden und daruber hinaus die
periodische Fortsetzung des Zeitsignals vermieden wird:
h (n t) =
8
><
>:
1
N
1
N
P
N;1;n
m=0
N;1
P
m=;n
h(m t) h((m + n)t) fur n 0
h(m t) h((m + n)t) fur n 0
Bei Gl.(64) handelt es sich aufgrund der Normierung mit dem Vorfaktor 1=N um die nichterwartungstreue
Autokorrelationsfolge. Die erwartungstreue Autokorrelationsfolge
erhalt man, wenn man den Vorfaktor 1=N durch 1=(N ;jnj) ersetzt, denn mit der
durch Ef:::g bezeichneten Erwartungswertbildung gilt 3 :
E
( 1
N ; n
N;1;n X
m=0
h m h m+n
)
=
1
N ; n
N;1;n X
m=0
E fh m h m+n g
3 Der Begri Erwartungswert\ ist hier etwas irrefuhrend, da es sich bei der Autokorrelationsfunktion
"
um eine Funktion der Zeit handelt. Die Erwartungswertbildung bezieht sich nicht etwa auf die zeitliche
Mittelung, sondern auf die Mittelung fur eine Vielzahl von unterschiedlichen Realisierungen desselben stochastischen
Prozesses. Das Resultat der Erwartungswertbildung der AKF ist nach wie vor eine zeitabhangige
Funktion. Dementsprechend ist der Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums eine Funktion der
Frequenz.
46
(64)