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Amplitude Spektrale Leistungsdichte (dB) 60 40 20 0 Def. 1: SNR = -13.9 dB Def. 2: SNR = 8.4 dB 0 128 256 384 512 640 768 896 a) b) Zeit (Abtastpunkte) 0 128 256 384 Frequenz (Abtastpunkte) Amplitude Spektrale Leistungsdichte (dB) 60 40 20 0 Def. 1: SNR = -13.5 dB Def. 2: SNR = -0.3 dB c) 0 32 64 96 Zeit (Abtastpunkte) d) 0 16 32 48 Frequenz (Abtastpunkte) Abb. 21: a) Simuliertes Zeitsignal: SNR = ;15 dB (gema Def. 1), N = 1024, b) zugehoriges Leistungsdichtespektrum, c) Zeitsignal gema dem Datensatz aus a) bei dem jedoch nur jeder 8. Abtastwert verwendet wurde (d.h. N = 128), d) zugehoriges Leistungsdichtespektrum. 45
Da ein hoher spektraler Peak einen geringen Schatzfehler bei der Ermittlung der Signalfrequenz zur Folge hat, empehlt es sich, verrauschte Signale so hochfrequent wie moglich abzutasten. Eine SNR-Denition, bei der dies berucksichtigt wird, ist durch SNR 2 = 10 log 10 2 s (N=2 ; 1) 2 n n s ! : (62) gegeben, wobei mit n s die Frequenzbandbreite des Signals bezeichnet wird. Bei dieser SNR- Denition wird die Signalleistung zu dem Produkt aus der mittleren spektralen Rauschleistungsdichte (n 2 =(N=2 ; 1)) und der Signalbandbreite ins Verhaltnis gesetzt. Fur weies Rauschen ist das auf diese Weise denierte SNR 2 somit unabhangig von der Abtastfrequenz. Resultate der SNR-Schatzung gema Gl.(62) sind in den Spektren der Abbildungen 20 und 21 als Def. 2, SNR\ vermerkt. Ein negativer SNR-Wert hat bei dieser Denition zur Folge, " da der spektrale Peak des Signals geringer als der mittlere Rauschlevel ist, so da anhand des diskreten Spektrums keine zuverlassige Frequenzschatzung mehr erfolgen kann. 5.2.2 Stochastische Signale Stochastische Signale sind das Ergebnis von Zufallsprozessen. Sie werden mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschrieben, d.h. die Analyse besteht darin, Erwartungswerte und Varianzen zu ermitteln. Aufgrund des Wiener-Khintchine-Theorems (siehe Abschnitt 2.2) lat sich das Leistungsdichtespektrum eines Signals durchFouriertransformation in die Autokorrelationsfunktion uberfuhren. Fur ein aus N Abtastwerten bestehendes Signal h n mit n =0 1 2:::N ; 1 hat die entsprechende diskrete Beziehung die Form jH k j 2 = N;1 X n=;(N;1) h (n t)e ;j 2kn=N : (63) Die in Abschnitt 4.3 angegebene Denition der diskreten Autokorrelationsfunktion wird hier so abgewandelt, da auch negative n-Werte zugelassen werden und daruber hinaus die periodische Fortsetzung des Zeitsignals vermieden wird: h (n t) = 8 >< >: 1 N 1 N P N;1;n m=0 N;1 P m=;n h(m t) h((m + n)t) fur n 0 h(m t) h((m + n)t) fur n 0 Bei Gl.(64) handelt es sich aufgrund der Normierung mit dem Vorfaktor 1=N um die nichterwartungstreue Autokorrelationsfolge. Die erwartungstreue Autokorrelationsfolge erhalt man, wenn man den Vorfaktor 1=N durch 1=(N ;jnj) ersetzt, denn mit der durch Ef:::g bezeichneten Erwartungswertbildung gilt 3 : E ( 1 N ; n N;1;n X m=0 h m h m+n ) = 1 N ; n N;1;n X m=0 E fh m h m+n g 3 Der Begri Erwartungswert\ ist hier etwas irrefuhrend, da es sich bei der Autokorrelationsfunktion " um eine Funktion der Zeit handelt. Die Erwartungswertbildung bezieht sich nicht etwa auf die zeitliche Mittelung, sondern auf die Mittelung fur eine Vielzahl von unterschiedlichen Realisierungen desselben stochastischen Prozesses. Das Resultat der Erwartungswertbildung der AKF ist nach wie vor eine zeitabhangige Funktion. Dementsprechend ist der Erwartungswert des Leistungsdichtespektrums eine Funktion der Frequenz. 46 (64)
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