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5 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation 5.1 Digitale Filter Der Entwurf digitaler Filter ist ein umfangreiches eigenstandiges Gebiet innerhalb der digitalen Signalverarbeitung. Ein umfassendes Verstandnis der digitalen Filterung wurde zunachst die Einfuhrung der z-Transformation, dem diskreten Pendant zur Laplace-Transformation, erfordern. Um auf die z-Transformation verzichten zu konnen, soll hier nur eine der zahlreichen Moglichkeiten des Entwurfs digitaler Filter betrachtet werden, namlich dieFourier- Approximation, die auf der DFT basiert. HinsichtlichdesAmplitudenganges frequenzselektiver Filter sind die vier in Abbildung 15 zusammengestellten Grundformen zu unterscheiden: der Tiefpa, der Hochpa, der Bandpa und die Bandsperre. Bandpa und Bandsperre lassen sich ihrerseits als Kombination eines Tiefpalters mit einem Hochpa verstehen. Abb. 15 zeigt die idealen Amplituden- Frequenzgange dieser vier Grundformen. |H( f)| |H( f)| a) -f g 1 f g f b) -f g 1 f g f |H( f)| |H( f)| c) 1 1 -f gh -f gl f -f gh f f gl f gh d) -f gl f gl f gh Abb. 15: Filter-Grundformen: a) Tiefpa, b) Hochpa, c) Bandpa und d) Bandsperre. Digitale Filter konnen entweder durch ihre Ubertragungsfunktion im Frequenzbereich oder durch ihreImpulsantwort (Zeitverhalten des Filters bei Anregung mit einem Deltapuls) im Zeitbereich charakterisiert werden. Ubertragungsfunktion und Impulsantwort konnen durch Fouriertransformation ineinander uberfuhrt werden, d.h. sie bilden ein Fouriertransformations-Paar. Die Filterung eines Zeitsignales erfolgt nun dadurch, da das Zeitsignal mit der Impulsantwort des Filters gefaltet wird. Gema demFaltungstheorem entspricht dies im Frequenzbereich der Multiplikation des Fouriertransformierten Zeitsignals mit der Ubertragungsfunktion des Filters. Im folgenden wird exemplarisch der Entwurf eines Tiefpalters diskutiert, welches sich 37
idealerweise durch die Amplituden-Ubertragungsfunktion ( 1 fur jfj fg jH tp (f)j =rect(f=f g )= 0 sonst (58) beschreiben lat (vgl. Abb. 15 a)). Ein ideales Hochpalter hat dementsprechend die Amplituden-Ubertragungsfunktion: H hp (f) =1; H tp (f) : Wird H tp (f) als reellwertig vorausgesetzt, so ergibt sich die Funktion h 0 tp(t) im Zeitbereich durch inverse Fouriertransformation (vgl. Gl.(37)): h 0 sin(2f g t) tp(t) =2f g : (59) 2f g t Die Funktion h 0 tp(t) ist gerade und erstreckt sich entlang der gesamten Zeitachse. In praktischen Anwendungen kann deshalb immer nur ein Ausschnitt der Impulsantwort h 0 tp (t) betrachtet werden, der einem Zeitintervall der Lange N t entspricht. Dies wird mathematisch durch die Multiplikation von h 0 tp(t) mit der Rechteckfunktion ( 1 fur jtj Nt=2 r(t) =rect t=(Nt=2) = (60) 0 sonst erreicht. Weiter ist zu berucksichtigen, da das Antwortverhalten eines Filters kausal sein mu, d.h. die Impulsantwort h tp (t), die sich auf eine Pulsanregung im Zeitpunkt t = 0 bezieht, mu fur t
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5.1 Digitale Filter<br />
Der Entwurf digitaler Filter ist ein umfangreiches eigenstandiges Gebiet innerhalb der digitalen<br />
Signalverarbeitung. Ein umfassendes Verstandnis der digitalen Filterung wurde zunachst<br />
die Einfuhrung der z-Transformation, dem diskreten Pendant zur Laplace-Transformation,<br />
erfordern. Um auf die z-Transformation verzichten zu konnen, soll hier nur eine der zahlreichen<br />
Moglichkeiten des Entwurfs digitaler Filter betrachtet werden, namlich dieFourier-<br />
Approximation, die auf der DFT basiert.<br />
HinsichtlichdesAmplitudenganges frequenzselektiver Filter sind die vier in Abbildung 15<br />
zusammengestellten Grundformen zu unterscheiden: der Tiefpa, der Hochpa, der Bandpa<br />
und die Bandsperre. Bandpa und Bandsperre lassen sich ihrerseits als Kombination<br />
eines Tiefpalters mit einem Hochpa verstehen. Abb. 15 zeigt die idealen Amplituden-<br />
Frequenzgange dieser vier Grundformen.<br />
|H( f)|<br />
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a)<br />
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Abb. 15: Filter-Grundformen: a) Tiefpa, b) Hochpa, c) Bandpa und d) Bandsperre.<br />
Digitale Filter konnen entweder durch ihre Ubertragungsfunktion im Frequenzbereich<br />
oder durch ihreImpulsantwort (Zeitverhalten des Filters bei Anregung mit einem Deltapuls)<br />
im Zeitbereich charakterisiert werden. Ubertragungsfunktion und Impulsantwort<br />
konnen durch Fouriertransformation ineinander uberfuhrt werden, d.h. sie bilden ein Fouriertransformations-Paar.<br />
Die Filterung eines Zeitsignales erfolgt nun dadurch, da das<br />
Zeitsignal mit der Impulsantwort des Filters gefaltet wird. Gema demFaltungstheorem<br />
entspricht dies im Frequenzbereich der Multiplikation des Fouriertransformierten Zeitsignals<br />
mit der Ubertragungsfunktion des Filters.<br />
Im folgenden wird exemplarisch der Entwurf eines Tiefpalters diskutiert, welches sich<br />
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