Skript

1 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation
1.1 Fourier-Reihen
Fourier-Reihenentwicklung periodischer Funktionen f() mit der Periodendauer T .
Voraussetzungen (Dirichlet Bedingungen):
Funktion hat eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen in einer Periode
Funktion hat endliche Anzahl niter Maxima und Minima pro Periode
Das Integral + R
;
jf()jd ist endlich.
! Fourier-Reihe: f() = a 0
+ P 1 [a
2 n cos(n) + b n sin(n)]
n=1
mit den Koezienten
a n = 1
b n = 1
Z
+
;
+
Z
;
f() cos(n)d
f() sin(n)d
n =0 1 2:::
n =1 2:::
Im allgemeinen geht es um zeitabhangige Funktionen der Periodendauer T. Dann gilt =
2 t T = !t t = T
2
,
d =
2dt
T
! a n = 2 T
T
Z2
f(t)cos(n!t)dt
; T 2
b n = 2 T
T
Z2
f(t) sin(n!t)dt
; T 2
f(t) = a 1X
0
2 + [a n cos(n!t)+b n sin(n!t)] (1)
n=1
In der systemtheoretischen Beschreibung wird haug eine andere Schreibweise bevorzugt:
f(t) = a 0
2 + 1X
mit c n = q a 2 n + b 2 n n = arctan b n
an
n=1
Gleichung (2) bedeutet, da f(t) zerlegt wird in
den Mittelwert uber eine Periode a 0
2
c n cos(n!t ; n) (2)
sowie harmonische Cosinuskomponenten als ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
! mit den Amplituden c n und den Phasen n
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