Skript
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Analog ergibt sich fur die diskrete Korrelation der beiden Funktionen x(n t) undh(n t) die Beziehung: (n t) = N;1 X m=0 x(m t) h((n + m)t) : (57) Das Faltungs- und das Korrelationstheorem (vgl. Kap. 2) lassen sich auf den diskreten Fall ubertragen, wenn die Konsequenzen der Abtastung im Zeit- und im Frequenzbereich und die endliche Breite N t des Abtastfensters berucksichtigt werden. Um die diskrete Faltung bzw. die diskrete Korrelation moglichst ezientnumerischdurchzufuhren, empehlt es sich, das Faltungs- bzw. das Korrelationstheorem in Kombination mit einem FFT-Algorithmus auszunutzen. Dabei werden die folgenden Schritte durchlaufen: diskrete Fouriertransformation der beiden Datensatze x(n t) undh(n t), n 2f0:::N ; 1g, mittels FFT, Multiplikation von X(k f) mitH(k f) bzw. mit H (k f), k 2f0:::N ; 1g, inverse diskrete Fouriertransformation des Produktes X(k f) H(k f) bzw. X(k f) H (k f) mittels FFT. Ein Problem stellt bei dieser Realisierung einer Faltung bzw. einer Korrelation die durch die Abtastung im Frequenzbereich bedingte periodische Fortsetzung des diskreten Signals im Zeitbereich dar. Dies wird anhand von Abb. 14 deutlich: Abb. 14 a) zeigt ein Signal s(n t), dessen Autokorrelationsfunktion (AKF) bestimmt werden soll. Gema der oben beschriebenen Vorgehensweise ergibt sich die in Abb. 14 c) gestrichelt dargestellte Kurve, die aufgrund der periodischen Fortsetzung des Zeitsignals ebenfalls periodisch mit der Periode N t ist. Um den realen Verlauf der AKF des Zeitsignals zu bestimmen, ist die Anzahl der Abtastwerte des Signals zunachst zu verdoppeln, indem der N-te bis (2N ; 1)-te Abtastwert mit Nullen belegt werden, wie dies Abb. 14 b) zeigt. Wird dieses Signal mittels der FFT bzw. der inversen FFT uber 2N Punkte in der oben beschriebenen Weise verarbeitet, ergibt sich die in Abb. 14 c) durchgezogen gezeichnete AKF, die fur die Abtastwerte 0 bis N ; 1mit der AKF des diskreten Eingangssignals s(n t) ubereinstimmt und zum rechten Rand des dargestellten Zeitfensters, d.h. fur n = N ; 1 auf null abfallt. 35
1 1 0.5 0.5 s(t) 0 s(t) 0 −0.5 −0.5 −1 0 20 40 60 a) t / ∆t b) −1 0 50 100 t / ∆t 20 10 AKF(t) 0 −10 c) −20 0 10 20 30 40 50 60 t / ∆t Abb. 14: a) 64 Abtastpunkte umfassender Signalverlauf b) aus 128 Werten bestehendes Datenfeld, von denen die ersten 64 mit dem Signal gema a) belegt werden und der Rest mit Nullen aufgefullt wird c) mittels zweifacher FFT berechnete Autokorrelationsfunktion fur den Signalverlauf gema a) (gestrichelt) sowie gema b) (durchgezogen). 36
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Abb. 14: a) 64 Abtastpunkte umfassender Signalverlauf b) aus 128 Werten bestehendes<br />
Datenfeld, von denen die ersten 64 mit dem Signal gema a) belegt werden und der Rest<br />
mit Nullen aufgefullt wird c) mittels zweifacher FFT berechnete Autokorrelationsfunktion<br />
fur den Signalverlauf gema a) (gestrichelt) sowie gema b) (durchgezogen).<br />
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