Skript

esultieren. Durch Eliminieren von c und k folgt daraus die durch Gl.(51) gegebene Beziehung
zur Ermittlung von n s . Fur die in Abb. 10 d) und 10 f) dargestellten Leistungsdichtespektren
resultieren mit den entsprechenden Werten fur P k die normierten Frequenzen
n s =4 5024 bzw. n s =4 9999, die den Vorgaben, n s =4 5 bzw. n s =5 0, sehr nahe kommen.
Wird die Gau-Interpolation dagegen auf die Leistungsdichtespektren gema Abb.9
d) bzw. 9 b) angewendet, bei denen keine Fensterfunktion verwendet wurde, so resultiert
n s =4 5930 und n s =4 994, d.h. es zeigen sich durchaus Abweichungen gegenuber den
Vorgabewerten.
Neben der Signalfrequenz ist vielfach auch die Phasenlage des Signals bzw. die Phasendifferenz
gegenuber einem Referenzsignal von Interesse. Eine Phasen-Schatzung lat sich im
Frequenzbereich durchfuhren, indem fur die Spektralwerte S n0 , S n0 +1 und S n0 ;1 zunachst
die Phasenwerte n0 , n0 +1 und n0 ;1 gema der Beziehung
k = arctan Im[S k]
Re[S k ]
bestimmtwerden. Der gesuchte Phasenwert ns ergibt sich dann durch lineare Interpolation:
!
(53)
ns =(1; ) n0 + (n0 +=jj) (54)
wobei der bei der spektralen Interpolation resultierende Parameter ist (z.B. gema Gl.(51)).
Fur Abbildung 13 wurde ein sinusformiges Signal und ein demgegenuber um 45 phasenverschobenes
Signal vorgegeben (Teilbild a)). Die zugehorigen Betragsspektren (Teilbild b))
sind weitgehend identisch. Die in Teilbild c) uber der diskreten Frequenz aufgetragene Phasendierenz
durchlauft den gesamten Wertebereichvon ;90 bis +90 . Bei der vorgegebenen
normierten Signalfrequenz n s = f s =f =4 5 zeigt sich der gema Gl.(54) zu bestimmende
Wert von 2 ; 1 =45 ,wenn man Teilbild d) betrachtet, welches einen vergroerten
Ausschnitt aus Teilbild c) darstellt.
Bei bekannter Signalfrequenz f 0 kann man den spektralen Koezienten und damit die Phasenlage
des Signals selbstverstandlich auch direkt, d.h. ohne den Umweg uber die FFT
bestimmen. Es gilt:
S(f 0 )=
NX
n=0
!
s n w n e ;j 2f 0 n t (f 0 ) = arctan Im[S(f 0)]
: (55)
Re[S(f 0 )]
4.3 Diskrete Faltung und Korrelation
Die kontinuierliche Faltung und die kontinuierliche Korrelation wurden in Kapitel 2 behandelt.
Ebenso, wie die DFT eine diskrete Realisierung der kontinuierlichen Fouriertransformation
darstellt, lassen sich das Faltungs- und das Korrelationsprodukt in diskreter Form
realisieren. Fur die diskrete Faltung zweier diskreter Funktionen x(n t) undh(n t) gilt:
y(n t) =
N;1
X
m=0
x(m t) h((n ; m)t) : (56)
Durch Multiplikation der rechten Seite von Gl.(56) mit t lat sich dieselbe Skalierung wie
bei der kontinuierlichen Faltung erreichen.
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