Skript
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ebenfalls mit den entsprechenden Verlaufen aus Abb. 9 b) und d) uberein. Die quasikontinuierlichen, durchgezogenen Kurvenverlaufe resultieren, wenn die jeweiligen Signal-Datensatze, die zunacht 64Werte umfassen auf 1024 Werte mit Nullen angefullt werden. Hierdurch wird eine Verringerung der Diskretisierungsschrittweite f um den Faktor 16 erreicht. Wie Abb. 11 zu entnehmen ist, erlaubt dies eine deutlich bessere Frequenzschatzung sowie eine exaktere Phasenschatzung. Bei verrauschten Signalen ist es daruber hinaus hilfreich, da die Signalanalyse auf Werten basiert, die in der Nahe des Maximums des Leistungsdichtespektrums liegen und somit den grotmoglichen Abstand zum Rauschlevel aufweisen. 1 40 0.5 30 s n 0 | S k | 20 −0.5 10 −1 a) 0 20 40 60 n b) 0 0 10 20 30 k 1 0.5 40 30 s n 0 | S k | 20 −0.5 10 −1 c) 0 20 40 60 n d) 0 0 10 20 30 k Abb. 11: a) Cosinussignal mit 5 Perioden im Abtastfenster (N=64), b) Sternchen: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N =64,durchgezogene Linie: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N = 1024 unter Vorgabe von s n =0fur 64 n 1023 c) Cosinussignal mit 4,5 Perioden im Abtastfenster (N=64), d) Sternchen: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT- Algorithmus mit N =64,durchgezogene Linie: zugehoriges Betragsspektrum berechnet mit einem FFT-Algorithmus mit N = 1024 unter Vorgabe von s n =0fur 64 n 1023. Durch Interpolation der Frequenzwerte in der Umgebung des spektralen Peaks kann die Auosung bei der Frequenzschatzung mittels DFT unabhangig vom Zero-Padding verbessert werden 1 . Bei den meisten Verfahren zur Frequenzinterpolation werden die Werte der 1 Der Begri " Auosung\ bezieht sich hier nicht auf den minimalen Abstand zwischen zwei getrennt wahr- 31
Fouriertransformierten S k bzw. des Betragsquadrates P k fur die drei Spektrallinien k = n 0 , k = n 0 ; 1undk = n 0 +1verwendet. Die Wahl des geeigneten Interpolationsalgorithmus hangt wesentlich von der verwendeten Fensterfunktion ab: Aufgrund des Faltungstheorems wirkt sich die Multiplikation mit der Fensterfunktion im Zeitbereich alsFaltung im Frequenzbereich aus. Die Fouriertransformierte der im vorigen Abschnitt als Fensterfunktion eingefuhrten Gauschen Exponentialfunktion hat ebenfalls die Form einer Gauschen Exponentialfunktion, so da man im Frequenzbereich eine um die Signalfrequenz n s f zentrierte Gaufunktion erhalt, deren Verlauf bei drei bekannten Funktionswerten approximiert werden kann. Abbildung 12 veranschaulicht das Prinzip der Verbesserung der Frequenzauosung durch spektrale Interpolation. S k | | 2 P n 0 P n 0 -1 P n 0 +1 n s n 0 0 n 0+1 f/ ∆f n -1 Abb. 12: Spektrale Interpolation zur Verbesserung der Auosung bei der FFT-basierten Frequenzschatzung. Die Beziehung zur Bestimmung der Position des Maximums, die der gesuchten Frequenz n s f entspricht, lautet: n s = n 0 + = n 0 + 1 2 Zur Herleitung dieser Beziehung wird der Ansatz ln(P n0 ;1) ; ln(P n0 +1) ln(P n0 ;1) ; 2ln(P n0 )+ln(P n0 +1) : (51) P k =e c e ;(k;ns)2 = 2 k zunachst logarithmiert, so da die drei Gleichungen: ln(P n0 ) = c ; (n 0 ; n s ) 2 = 2 k ln(P n0 ;1) = c ; (n 0 ; 1 ; n s ) 2 = 2 k ln(P n0 +1) = c ; (n 0 +1; n s ) 2 = 2 k (52) genommenen Maxima des Leistungsdichtespektrums sondern auf die Genauigkeit, mit der eine Signalfrequenz anhand der zur Verfugung stehenden Werte des diskreten Leistungsdichtespektrums ermittelt werden kann. 32
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Fouriertransformierten S k bzw. des Betragsquadrates P k fur die drei Spektrallinien k = n 0 ,<br />
k = n 0 ; 1undk = n 0 +1verwendet. Die Wahl des geeigneten Interpolationsalgorithmus<br />
hangt wesentlich von der verwendeten Fensterfunktion ab: Aufgrund des Faltungstheorems<br />
wirkt sich die Multiplikation mit der Fensterfunktion im Zeitbereich alsFaltung im Frequenzbereich<br />
aus. Die Fouriertransformierte der im vorigen Abschnitt als Fensterfunktion<br />
eingefuhrten Gauschen Exponentialfunktion hat ebenfalls die Form einer Gauschen Exponentialfunktion,<br />
so da man im Frequenzbereich eine um die Signalfrequenz n s f zentrierte<br />
Gaufunktion erhalt, deren Verlauf bei drei bekannten Funktionswerten approximiert werden<br />
kann. Abbildung 12 veranschaulicht das Prinzip der Verbesserung der Frequenzauosung<br />
durch spektrale Interpolation.<br />
S k<br />
| | 2<br />
P n<br />
0<br />
P n<br />
0 -1<br />
P n 0 +1<br />
n s<br />
n<br />
0 0 n 0+1<br />
f/ ∆f<br />
n -1<br />
Abb. 12: Spektrale Interpolation zur Verbesserung der Auosung bei der FFT-basierten<br />
Frequenzschatzung.<br />
Die Beziehung zur Bestimmung der Position des Maximums, die der gesuchten Frequenz<br />
n s f entspricht, lautet:<br />
n s = n 0 + = n 0 + 1 2<br />
Zur Herleitung dieser Beziehung wird der Ansatz<br />
ln(P n0 ;1) ; ln(P n0 +1)<br />
ln(P n0 ;1) ; 2ln(P n0 )+ln(P n0 +1) : (51)<br />
P k =e c e ;(k;ns)2 = 2 k<br />
zunachst logarithmiert, so da die drei Gleichungen:<br />
ln(P n0 ) = c ; (n 0 ; n s ) 2 = 2 k <br />
ln(P n0 ;1) = c ; (n 0 ; 1 ; n s ) 2 = 2 k <br />
ln(P n0 +1) = c ; (n 0 +1; n s ) 2 = 2 k (52)<br />
genommenen Maxima des Leistungsdichtespektrums sondern auf die Genauigkeit, mit der eine Signalfrequenz<br />
anhand der zur Verfugung stehenden Werte des diskreten Leistungsdichtespektrums ermittelt werden kann.<br />
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