Skript

4.2.2 Fensterfunktionen
Als Konsequenzen fur die Spektralanalyse mittels der diskreten Fouriertransformation ergeben
sich aus den oben beschriebenen Eekten zunachst eine Beschrankung der spektralen
Auosung in Abhangigkeit von der Anzahl der Abtastwerte des DFT-Eingangssignals sowie
die beschriebene Verbreiterung des spektralen Peaks, die unter Umstanden weitere Charakteristika
imFrequenzspektrum uberdecken kann. Zur Unterdruckung storender Leakage-
Einusse kann das ursprungliche Zeitsignal mit einer geigneten Fensterfunktion multipliziert
werden, die zu den Randern des Zeitbereiches hin abfallt, wie dies in Abb. 10 fur das Signal
gema Abb. 9c)bzw. 9 a) demonstriert wird. Als Fensterfunktion wird eine Gausche
Exponentialfunktion der Form
w n =exp h ; (n ; N=2) 2 =(n 2 ) i (49)
verwendet.
Abb. 10 a) zeigt das mit einer Gauschen Fensterfunktion der Breite n =32multiplizierte
Cosinussignal gema Abb. 9 c). Im Leistungsdichtespektrum (Abb. 10 b)) ist bereits ein im
Vergleich zu Abb. 9 d) steilerer Abfall der Flanken des spektralen Maximums zu erkennen.
Fur Abb. 10 c) und 10 e) wurde die Breite n =16gewahlt, d.h. die Signalamplitude
ist an den Randern des Zeitfensters um den Faktor 1/e 4 gedampft. In diesem Fall zeigt
sich im Spektrum (Abb. 10 d) bzw. 10 f)) ein steil abfallender spektraler Peak, der um
die Signalfrequenz zentriert, jedoch gegenuber dem Peak in Abb. 9 b) deutlich breiter ist.
Dies fuhrt mitunter dazu, da sich zwei nahe beieinanderliegende spektrale Maxima nicht
mehr getrennt wahrnehmen lassen, d.h. da die Auosung der Spektralanalyse durch die
Multiplikation mit Fensterfunktionen reduziert wird. Dennoch erweisen sich Fensterfunktionen
in verschiedenen Anwendungen als nutzlich, vor allem dann, wenn ausreichend viele
Abtastwerte des zu untersuchenden Signals zur Verfugung stehen, oder wenn vorausgesetzt
werden kann, da die charakteristischen spektralen Peaks soweit auseinander liegen, da es
zu keinen durch die Fensterfunktion bedingten Uberlappungseekten kommt.
Zusatzlich zu dem oben beschriebenen Gaufenster sei hier das weit verbreitete Hanning-
Fenster eingefuhrt, das wie folgt deniert ist:
w n = 1 2
1 ; cos(2n=N)
mit n 2f0:::N ; 1g : (50)
Fur n =0undfur n = N nimmt die Cosinusfunktion den Wert eins an, so da das Hanning-
Fenster an den Randern auf null abfallt. In der Mitte, bei n = N=2 giltw n =1.
4.2.3 Zero-Padding und spektrale Interpolation
Eine Moglichkeit, die Auosung bei der Frequenz- und der Phasenschatzung im Spektralbereich
zuverbessern, besteht im Anhangen von Nullen an das eigentliche Mesignal, dem
sogenannten "
Zero-Padding\. Bei dieser Methode macht man sich Gl.(40) dadurch zunutze,
da die Gesamtzahl N der Abtastpunkte kunstlich erhoht wird, indem der Datensatz mit
Nullen aufgefullt wird. Das Prinzip wird durch Abb. 11 veranschaulicht, bei dem die Signale
in den Teilbildern a) und c) mit denen aus Abb. 9 a) und c) ubereinstimmen. Die durch
das "
\-Symbol gekennzeichneten diskreten Kurvenverlaufe in Abb. 11 b) und d) stimmen
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