Skript

ilden. Eine aquivalente Erklarung besteht zunachst in der Interpretation des Abtastfensters
endlicher Breite als Multiplikation eines unendlich langen Signals mit einer Rechteckfunktion,
deren Breite N t mit der Breite des Abtastfensters ubereinstimmt. Im Frequenzbereich
fuhrt dies auf eine Faltung der Fouriertransformierten des Signals mit der Fouriertransformierten
des Rechteckfensters, dessen Leistungsdichtespektrum sich durch dieFunktion
P w (f) =
N t
sin(f N t)
f N t
! 2
=(N t sinc(f N t)) 2
beschreiben lat. Diese Funktion ist fur das in Abb. 9 e) abgebildete Rechteckfenster in Abb.
9 f) als durchgezogene Linie dargestellt. (Hier wurden N = 1024 Abtastpunkte gewahlt, um
zu einer hohen Auosung im Frequenzbereich zu gelangen.) Die Fouriertransformierte der
Cosinusfunktion besteht aus Deltafunktionen bei der positiven und der negativen Signalfrequenz.
Die Faltung bewirkt, da sich das Hauptmaximum der Sinc-Funktion gema Abb. 9
f) an der Stelle der Signalfrequenz bendet. Fur n s 2f1 2:::g fallt der n s -te Abtastwert
mit dem Hauptmaximum zusammen, wahrend alle ubrigen Abtastwerte mit den Nullstellen
der Sinc-Funktion ubereinstimmen. In ungunstigen Fallen, wie in Abb. 9 d), liegen dagegen
zwei Abtastwerte in den jeweiligen Randbereichen des Hauptmaximums, wahrend die
ubrigen Abtastwerte den Bereichen der Nebenmaxima entnommen werden.
Das tatsachlich durch FFT ermittelte Leistungsdichtespektrum wird in Abb. 9 f) durch die
gestrichelte Linie reprasentiert, die bei hoheren Frequenzen vom Quadrat der Sinc-Funktion
(durchgezogene Linie) abweicht. An dieser Stelle oenbart sich erneut das Aliasing-Phanomen.
Dieser Eekt wird durch die Zeitbereichsabtastung, d.h. durch die Multiplikation des
Zeitsignals mit dem Dirac-Kamm, hervorgerufen, die sichimFrequenzbereich als Faltung mit
dem reziproken Dirac-Kamm niederschlagt (vgl. Abschnitt 4.1). Dementsprechend liefert
die DFT grundsatzlich eine periodische Fortsetzung des Leistungsdichtespektrums mit der
Periode Nf. Bei hohen Frequenzen machen sich folglich die hochfrequenten Anteile des
benachbarten, um den Wert Nf zentrierten Spektrums bemerkbar. Um dies quantitativ
zu erfassen, ist die Summe:
S k = 1 N
M;1 X
n=0
e ;j 2kn=N (46)
bei der M die Breite des Rechteckfensters angibt, zu bestimmen. Im Fall von Abb. 9 e) gilt
M = 32. Einsetzen der Exponentialfunktion gema Gl.(46) in die Summenformel fur die
geometrische Reihe, N;1 P
a n = 1;aN ,fuhrt auf:
1;a
n=0
S k = 1 N
e;jk(M;1)=N
sin (kM=N)
sin (k=N)
(47)
) jS k j 2 = 1 N 2 sin 2 (kM=N)
sin 2 (k=N) : (48)
Mit N =1024,M = 32 und Normierung auf den Maximalwert 1 liefert diese Gleichung
das in Abb. 9 f) als gestrichelte Linie dargestellte Leistungsdichtespektrum. Fur den Fall
kleiner k-Werte lat sich dieSinusfunktion im Nenner durch ihr Argument ersetzen, so da
die diskrete Form der oben angegebenen Sinc-Funktion resultiert und sich somit Leakage
und Aliasing unterscheiden lassen.
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