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Inhaltsverzeichnis 1 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 1 1.1 Fourier-Reihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1.2 Fourier-Integrale und Fourier-Tranformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.3 Diracsche-Deltafunktion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2 Faltung und Korrelation 10 2.1 Faltungstheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 2.2 Korrelationstheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 2.3 Autokorrelationsfunktionen stochastischer und periodischer Signale : : : : : 12 2.4 Faltung und Korrelation mit Deltafunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 3 Eigenschaften der Fouriertransformation, spezielle Fouriertransformierte 14 3.1 Eigenschaften der Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14 3.2 Spezielle Fouriertransformierte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 4 Abtastung und diskrete Fouriertransformation 20 4.1 Signalabtastung und Abtasttheorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 4.2 Diskrete Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 4.2.1 Diskrete Leistungsdichtespektren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 4.2.2 Fensterfunktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 4.2.3 Zero-Padding und spektrale Interpolation : : : : : : : : : : : : : : : : 29 4.3 Diskrete Faltung und Korrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 5 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation 37 5.1 Digitale Filter : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 5.2 Verrauschte Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 5.2.1 Verrauschte deterministische Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 5.2.2 Stochastische Signale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 5.3 Hilbert-Transformation und Zeit-Frequenz-Analyse : : : : : : : : : : : : : : 50 5.3.1 Hilbert-Transformation zur Erzeugung des analytischen Signals : : : 50 5.3.2 Zeit-Frequenz-Analyse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53 5.4 Korrelationsanalyse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 5.4.1 Korrelationsfunktionen diskreter Signale : : : : : : : : : : : : : : : : 59 5.4.2 Anwendungen der Korrelationsanalyse : : : : : : : : : : : : : : : : : 61 6 Digitale Bildverarbeitung 66 6.1 Grundbegrie der Bildverarbeitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66 6.2 Punktoperationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 6.3 Lokale Operationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 6.3.1 Maskenkorrelation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 6.3.2 Grauwertglattung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 6.3.3 Kantenlterung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 6.4 Globale Operationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 2
6.4.1 2D-Fouriertransformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 6.4.2 Radon-Transformation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79
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1. durch die Mittelung einer Anzahl
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eines reellen Signals, die positive
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2 1 a(t) 0 −1 a) −2 0 50 100 15
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aus, bei dem die zeitabhangige Ampl
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150 100 φ(t) (Grad) 50 0 −50 −
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Abb. 28: Resultat der auf der Kurzz
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3 2 Signalamplitude 1 0 −1 −2
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dem Faltungs- bzw. Korrelationstheo
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Computer / Arbeitsspeicher Lichtque
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100 FT{rect(2x/∆x, 2y/∆y)} (µm
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Funktionswerte der diskreten Kreuzk
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Analog konnen vertikale Kanten mit
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1 |sin(ξ)*sin(η)/(ξ η)| 0.8 0.6
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250 200 150 100 50 0 Abb. 44: Multi
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60 50 50 x´ + 159 (Pixel) 100 150
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