Skript

Wertebereich beispielsweise in 2 8 = 256 Digitalwerte ein, die z.B. das Intervall [;128 ;127
:::127] reprasentieren konnen. In der Praxis erweist sich fur die meisten Anwendungen
eine 8- bzw. 12-Bit-Digitalisierung als ausreichend.
Dies setzt allerdings voraus, da die Amplitude des analogen Signals so verstarkt oder abgeschwacht
wird, da der maximale Analogwert in etwa auf den maximalen Digitalwert abgebildet
wird. Wird beispielsweise das Intervall [;5 V, +5 V] mit 8-Bit digitalisiert, so wird
der Wert +5 V z.B. auf den Digitalwert +127 bzw. 255 abgebildet. Um die volle Auosung
nutzen zu konnen, sollte ein auszuwertendes Mesignal in diesem Beispiel den Wertebereich
zwischen ;5 und+5Vmoglichst gut ausfullen. Dies kann ggf. durch Verstarkung oder
Abschwachung erreicht werden.
4.2 Diskrete Fouriertransformation
Eine haug vorkommende Aufgabe der digitalen Signalanalyse besteht darin, ein abgetastetes
Signal in den Frequenzbereich zuuberfuhren. Um dies zu erreichen, bedient man sich der
diskreten Fouriertransformation (DFT).
Ausgangspunkt der Herleitung einer mathematischen Beziehung zur DFT ist ein diskretes
Signal h(n t), das aus N Abtastwerten besteht, d.h. n 2f0:::N;1g. (Es ist ublich, dem
ersten Abtastwert den Zeitpunkt t = 0 zuzuordnen.) Im Gegensatz zum vorigen Abschnitt, in
dem die Gesamtzahl der entnommenen Abtastwerte keine Rolle spielte, wird hier die endliche
Anzahl von N Abtastwerten vorausgesetzt, da in der Praxis nur Signale von Interesse sind,
die wahrend eines begrenzten Zeitraums abgetastet werden.
Das zu transformierende Signal ist diskret. Deshalb mu in der Denitionsgleichung der
Fouriertransformation (Gl.(14)) zunachst das Integral durch eine Summe ersetzt werden, die
sich auf alle N Abtastwerte des Signals bezieht. Als Resultat der DFT erwartet man im
Frequenzbereich ebenfalls eine diskrete Funktion, also:
H(k f) =
N;1 X
n=0
X
h(n t)e ;j 2kf nt N;1
t =t
n=0
h(n t)e ;j 2kf nt : (39)
Es stellt sich nun die Frage nach dem Diskretisierungsintervall f im Frequenzbereich. Im
vorigen Abschnitt wurde gezeigt, da bei Einhaltung des Abtasttheorems das Spektrum des
kontinuierlichen Signals auf dem Intervall ;1=(2t) f