Skript

ei der Herleitung des Spektrums des kontinuierlichen Signals fuhrt auch hier die Faltung
mit einer Deltafunktion im Frequenzbereich dazu, da eine spektrale Funktion entlang der
Frequenzachse verschoben wird. Das Spektrum H(f) des kontinuierlichen Zeitsignals ruckt
also jeweils an die Stellen der Delta-Peaks des Dirac-Kamms im Frequenzbereich, d.h. es
wird periodisch mit der Periode 1=t fortgesetzt. Die Periode entspricht dabei der Abtastfrequenz.
Die Abtastung des Signals im Zeitbereich bewirkt demnach imFrequenzbereich
eine periodische Fortsetzung des Spektrums H(f) deskontinuierlichen Signals h(t).
In Abb. 7 e) und f) ist diese periodische Fortsetzung fur zwei unterschiedlich groe Abtastintervalle
t graphisch dargestellt. Im Fall von Abb. 7 e) wurde t so klein gewahlt, da
sich die um zwei benachbarte Frequenzlinien (z.B. 0 und 1=t) zentrierten Spektren nicht
uberlappen. Fur Abb. 7 f) wurde ein groeres Abtastintervall vorausgesetzt. Dies fuhrt
dazu, da die periodisch fortgesetzten Spektren naher aneinander rucken und sich ggf. uberlappen.
Betrachtet man nur das Frequenzintervall von f = ;1=(2t) bisf =+1=(2t),
so stimmt das Spektrum in diesem Intervall im ersten Fall (keine Uberlappung) mit dem
des kontinuierlichen Signals uberein, wahrend im zweiten Fall durch dieUberlappung eine
Veranderung des Spektrums in diesem Intervall hervorgerufen wird. Dieser Storeekt wird
als Aliasing bezeichnet.
Aus diesen Uberlegungen lat sich unmittelbar das Abtastheorem (auch alsShannon-
Theorem bekannt) ableiten. Es besagt, da aus den Abtastwerten das ursprungliche (d.h.
das kontinuierliche) Signal dann fehlerfrei rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastfrequenz
mindestens doppelt so gro ist wie die hochste im Signal vorkommende Frequenz f max .
Dies fuhrt auf folgende zwei Forderungen:
das Spektrum H(f) des Signals mu bandbegrenzt sein, d.h. es mu gelten: H(f) =0
fur f>f max .
Die Abtastfrequenz mu mindestens doppelt so gro wie f max gewahlt werden, d.h.
1
t =2f c 2f max :
Die untere Grenze fur die Abtastfrequenz, 2f max , bezeichnet man als Nyquist-Frequenz.
Bei Einhaltung des Abtasttheorems kann zur Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals
einmal mehr vom Faltungstheorem Gebrauch gemacht werden. Im Frequenzbereich ergibt
sich das Spektrum des kontinuierlichen Signals, indem alle Spektralwerte fur jfj >f c gleich
null gesetzt werden. Es gilt
f c = 1
2t :
Das entspricht einer Multiplikation des (periodisch fortgesetzten) Spektrums mit einer Rechteckfunktion
der Form:
1
2f c
rect(f=f c )=
( 1
2f c
fur ;f c f +f c
0 sonst .
Da als Amplitude der Rechteckfunktion der Wert 1=(2f c ) gewahlt wurde, gilt die Normierungsbedingung:
+1 Z
;1
1
2f c
rect(f=f c )df =1:
21
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