Skript

4. Dirac-Kamm
Unter einem Dirac-Kamm versteht man eine Folge von aquidistanten Deltafunktionen
(siehe Abb. 5):
comb(t) =
Fur die Fouriertransformierte gilt:
+1X
n=;1
Ffcomb(t)g = COMB(f) = 1 t
(t ; n t) :
+1X
n=;1
(f ; n=t)
d.h. im Frequenzbereich resultiert ebenfalls ein Dirac-Kamm, dessen Periode sich zu
der des Zeitsignals reziprok verhalt (siehe Abb. 5).
Beweisidee:
Zunachst denieren wir einen Dirac-Kamm von endlicher Breite:
h(t) =
+NX
n=;N
(t ; n t) :
Unter Ausnutzung der Beziehung Ff(t)g = 1 (Abschnitt 1.3) und des Zeitverschiebungstheorems
(Abschnitt 3.1, 2.) folgt fur die Fouriertransformierte von h(t):
H(f) =
+NX
n=;N
e j2nf t =
+NX
n=0
e j2nf t +
+NX
n=0
e ;j2nf t ; 1 :
Die beiden Summen lassen sich unter Ausnutzung der geometrischen Reihe +N P
a N+1 ;1
a;1
umformen, und man erhalt schlielich:
H(f) = sin((N + 1 )2f t)
2
:
sin(2f t=2)
n=0
a n =
Der Verlauf von H(f) istfur verschiedene N-Werte in Abb. 6 dargestellt. Fur N =1
zeigt sich ein cosinusformiger Verlauf mit einem Oset von 1. Fur groere Werte von N
bleibt die Anzahl und die Lage der periodisch auftretenden Hauptmaxima zwar gleich,
jedoch werden diese mit zunehmendem N immer schmaler und hoher.
Durch Einsetzen von f +1=t in obige Gleichung lat sich auch mathematisch zeigen,
da die Funktion H(f) periodisch mit der Periode 1=t ist. Um zu dem Resultat
COMB(f)fur den unendlichen Dirac-Kamm im Frequenzbereichzukommen, mu noch
gezeigt werden, da im Limes N !1das Integral uber eine Periode der Funktion
H(f) gleich 1=t ist. Also:
lim
N!1
=2 lim
N!1
+ 1
Z2t
; 1
2t
+ 1
Z2t
0
sin((N + 1 )2f t)
2
df lim
sin(2f t=2)
N!1
sin((N + 1 )2f t)
2
df =
tf
2
t
= 1 t
+ 1
Z2t
; 1
2t
Z1
sin((N + 1 )2f t)
2
df
tf
sin(f)
df
f
0
| {z }
==2 (Bronstein)
mit >0
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