Skript

3.2 Spezielle Fouriertransformierte
1. Deltafunktion im Frequenzbereich
Gema Abschnitt 1.3 erhalt man eine Deltafunktion im Frequenzbereich als
1
(f) = lim p e ;f 2 =(2 2)
!0 2
mit
Z
+1
;1
(f)df =1:
Bei Rucktransformation in den Zeitbereich ergibt sich (vgl. 2. Beispiel in Abschnitt
1.2):
2. Sinusfunktion
F ;1 f(f)g = lim F ;1n 1 o p e ;f 2 =(2 2 )
=lime ;42 t 2 2 =2 =1:
!0 2 !0
Fur eine Sinusfunktion gilt:
x(t) = x 0 sin(2f 0 t)
= x 0
2j
) X(f) = x 0
2j
e
j2f 0 t ; e ;j2f 0t
Ffe
j2f 0 t g;Ffe ;j2f 0t g :
Die gesuchten Fouriertransformierten ergeben sich direkt aus dem Frequenzverschiebungstheorem
(Abschnitt 3.1, 3.), wenn dort h(t) = 1 gesetzt wird. In diesem Fall gilt
namlich (siehe oben):
H(f) =(f)
und damit
X(f) = x 0
(f
; f 0 ) ; (f + f 0 )
2j
= j x 0
2 (f + f 0) ; j x 0
2 (f ; f 0) :
Bereits aus den Symmetrierelationen (Abschnitt 3.1, 6. und 9.) lat sich folgern, da
die Fouriertransformierte X(f) rein imaginar und ungerade sein mu, da die Sinusfunktion
reell und ungerade ist.
3. Cosinusfunktion
Fur eine Cosinusfunktion gilt:
x(t) = x 0 cos(2f 0 t)
= x 0
2
e
j2f 0 t +e ;j2f 0t :
Als Fouriertransformierte ergibt sich inAnalogiezurFouriertransformation der Sinusfunktion:
X(f) = x
0
(f ; f 0 )+(f + f 0 ) :
2
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