Skript

2.4 Faltung und Korrelation mit Deltafunktionen
Aus der Denition der Deltafunktion (Abschnitt 1.3) lat sich die sog. Ausblendeigenschaft
ableiten:
oder allgemeiner:
Z
+1
;1
Z
+1
;1
(t)h(t)dt = h(0) (30)
(t ; t 0 )h(t)dt = h(t 0 ): (31)
Eine auf der Zeitachse an der Stelle t = t 0 lokalisierte Deltafunktion ist durch (t ; t 0 )
gegeben. Die Ausblendeigenschaft besagt also, da durch die Multiplikation mit der Deltafunktion
in Verbindung mit der zugehorigen Integration nur der Funktionswert von h(t) an
der Stelle t = t 0 ubrigbleibt, wahrend alle anderen Werte von h(t) ausgeblendet\ werden.
"
Die Situation, da eine beliebige Funktion h(t) im Zeitbereich mit einer Deltafunktion (t),
die an der Stelle t 0 lokalisiert ist, gefaltet wird, kommt in der Signalverarbeitung haug
vor und wird deshalb hier behandelt. Auch die Faltung mit einer Deltafunktion (f) im
Frequenzbereich spielt in der Signalverarbeitung eine wichtige Rolle.
Das zu Gl.(16) korrespondierende Faltungsintegral hat die Form:
(t ; t 0 ) h(t) =
Z
+1
;1
( ; t 0 )h(t ; )d = h(t ; t 0 ): (32)
Eine Faltung einer Funktion h(t) mit der Deltafunktion (t ; t 0 ) bewirkt also, da die
ursprunglich umt = 0 zentrierte Funktion anschlieend auf der Zeitachse um den Wert
t = t 0 zentriert ist.
Die Faltung einer Deltafunktion an der Stelle f = f 0 im Frequenzbereich mit einer spektralen
Funktion H(f) fuhrt dementsprechend zu folgendem Resultat:
Z
+1
;1
(f 0 ; f 0 ) H(f ; f 0 )df 0 = H(f ; f 0 ): (33)
3 Eigenschaften der Fouriertransformation und
spezielle Fouriertransformierte
3.1 Eigenschaften der Fouriertransformation
1. Linearitat:
Ffx(t)+y(t)g = Ffx(t)g + Ffy(t)g
Ffconst: x(t)g =const: Ffx(t)g :
2. Zeitverschiebung
Fur eine um t = t 0 zeitverschobene Funktion h(t) gilt:
Ffh(t ; t 0 )g =e ;j2ft 0
H(f)
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