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Ein Lei- Allgemein handelt es sich bei diesen Signalen um sogenannte Leistungssignale. stungssignal x(t) ist dadurch gekennzeichnet, da seine Energie " x mit " x = Z +1 ;1 x 2 (t)dt alle Grenzen ubersteigt, so da die fur Energiesignale (" x < 1) gultige Denition der Autokorrelationsfunktion gema Gl.(25) nichtanwendbar ist. In diesen Fallen wird die Denition der Autokorrelationsfunktion wie folgt modiziert: 1 xx (t) = lim T !1 T Z +T=2 ;T=2 x()x(t + )d: (27) Der Wert der Autokorrelationsfunktion an der Stelle t =0entspricht dann genau der Varianz 2 x des (mittelwertfreien) Signals x(t): 1 x 2 = xx (t =0)= lim T !1 T Z +T=2 ;T=2 jx()j 2 d: (28) Gebrauchlich ist es daruber hinaus, die Autokorrelationsfunktion mit der Varianz zu normieren. Die auf diese Weise erhaltene normierte AKF, ~ xx (t) = lim T !1 1 T 2 x Z +T=2 ;T=2 x()x(t + )d (29) nimmt an der Stelle t = 0 den Maximalwert 1 an. Im Fall einer periodischen Funktion x(t) mit der Periode T wird ebenfalls Gl.(29) verwendet, allerdings wird die Integrationslange mit der Periodenlange gleichgesetzt und auf die Grenzwertbildung verzichtet. Dieses Vorgehen wird unmittelbar einsichtig, wenn man das Beispiel x(t) = cos ! 0 t betrachtet, fur das sich der Wert xx (t =0)=1=2 ergibt. 13
2.4 Faltung und Korrelation mit Deltafunktionen Aus der Denition der Deltafunktion (Abschnitt 1.3) lat sich die sog. Ausblendeigenschaft ableiten: oder allgemeiner: Z +1 ;1 Z +1 ;1 (t)h(t)dt = h(0) (30) (t ; t 0 )h(t)dt = h(t 0 ): (31) Eine auf der Zeitachse an der Stelle t = t 0 lokalisierte Deltafunktion ist durch (t ; t 0 ) gegeben. Die Ausblendeigenschaft besagt also, da durch die Multiplikation mit der Deltafunktion in Verbindung mit der zugehorigen Integration nur der Funktionswert von h(t) an der Stelle t = t 0 ubrigbleibt, wahrend alle anderen Werte von h(t) ausgeblendet\ werden. " Die Situation, da eine beliebige Funktion h(t) im Zeitbereich mit einer Deltafunktion (t), die an der Stelle t 0 lokalisiert ist, gefaltet wird, kommt in der Signalverarbeitung haug vor und wird deshalb hier behandelt. Auch die Faltung mit einer Deltafunktion (f) im Frequenzbereich spielt in der Signalverarbeitung eine wichtige Rolle. Das zu Gl.(16) korrespondierende Faltungsintegral hat die Form: (t ; t 0 ) h(t) = Z +1 ;1 ( ; t 0 )h(t ; )d = h(t ; t 0 ): (32) Eine Faltung einer Funktion h(t) mit der Deltafunktion (t ; t 0 ) bewirkt also, da die ursprunglich umt = 0 zentrierte Funktion anschlieend auf der Zeitachse um den Wert t = t 0 zentriert ist. Die Faltung einer Deltafunktion an der Stelle f = f 0 im Frequenzbereich mit einer spektralen Funktion H(f) fuhrt dementsprechend zu folgendem Resultat: Z +1 ;1 (f 0 ; f 0 ) H(f ; f 0 )df 0 = H(f ; f 0 ): (33) 3 Eigenschaften der Fouriertransformation und spezielle Fouriertransformierte 3.1 Eigenschaften der Fouriertransformation 1. Linearitat: Ffx(t)+y(t)g = Ffx(t)g + Ffy(t)g Ffconst: x(t)g =const: Ffx(t)g : 2. Zeitverschiebung Fur eine um t = t 0 zeitverschobene Funktion h(t) gilt: Ffh(t ; t 0 )g =e ;j2ft 0 H(f) 14
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Ein Lei-<br />
Allgemein handelt es sich bei diesen Signalen um sogenannte Leistungssignale.<br />
stungssignal x(t) ist dadurch gekennzeichnet, da seine Energie " x mit<br />
" x =<br />
Z<br />
+1<br />
;1<br />
x 2 (t)dt<br />
alle Grenzen ubersteigt, so da die fur Energiesignale (" x < 1) gultige Denition der Autokorrelationsfunktion<br />
gema Gl.(25) nichtanwendbar ist. In diesen Fallen wird die Denition<br />
der Autokorrelationsfunktion wie folgt modiziert:<br />
1<br />
xx (t) = lim<br />
T !1 T<br />
Z<br />
+T=2<br />
;T=2<br />
x()x(t + )d: (27)<br />
Der Wert der Autokorrelationsfunktion an der Stelle t =0entspricht dann genau der Varianz<br />
2 x des (mittelwertfreien) Signals x(t):<br />
1<br />
x 2 = xx (t =0)= lim<br />
T !1 T<br />
Z<br />
+T=2<br />
;T=2<br />
jx()j 2 d: (28)<br />
Gebrauchlich ist es daruber hinaus, die Autokorrelationsfunktion mit der Varianz zu normieren.<br />
Die auf diese Weise erhaltene normierte AKF,<br />
~ xx (t) = lim<br />
T !1<br />
1<br />
T 2 x<br />
Z<br />
+T=2<br />
;T=2<br />
x()x(t + )d (29)<br />
nimmt an der Stelle t = 0 den Maximalwert 1 an.<br />
Im Fall einer periodischen Funktion x(t) mit der Periode T wird ebenfalls Gl.(29) verwendet,<br />
allerdings wird die Integrationslange mit der Periodenlange gleichgesetzt und auf die<br />
Grenzwertbildung verzichtet. Dieses Vorgehen wird unmittelbar einsichtig, wenn man das<br />
Beispiel x(t) = cos ! 0 t betrachtet, fur das sich der Wert xx (t =0)=1=2 ergibt.<br />
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