Skript

Da fur die Fouriertransformierte
F(f(;t)) = F (!)
gilt, lat sich ausdemFaltungstheorem unmittelbar das Korrelationstheorem ableiten:
(t) =
Z
+1
;1
x()h(t + )d = F ;1 (X (!)H(!)) : (24)
Unter der Voraussetzung x(t) =h(t) =f(t) stimmt die Korrelationsfunktion (t) mit der
Autokorrelationsfunktion uberein. In diesem Fall folgt aus dem Korrelationtheorem die
wichtige Beziehung:
(t) =
Z
+1
;1
f()f(t + )d = F ;1 (jF (!)j 2 ) (25)
die unter dem Begri Wiener-Khintchine-Theorem bekannt ist. In Worten ausgedruckt
besagt das Wiener-Khintchine-Theorem, da die Autokorrelationsfunktion einer Funktion
mit der inversen Fouriertransformierten des Leistungsdichtespektrums ubereinstimmt bzw.
da die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion gleich dem Leistungsdichtespektrum
ist.
Ein weiteres wichtiges Theorem, das Parsevalsche Theorem, ergibt sich aus dem Wiener-
Khintchine-Theorem als Spezialfall fur t =0:
(t =0)=
Z
+1
;1
f 2 ()d = 1
2
Z
+1
;1
jF (!)j 2 d!: (26)
Dieses Theorem lat sich als Energieerhaltungsprinzip interpretieren: Durch dasIntegral
Z
+1
;1
f 2 ()d
wird die Gesamtenergie des Signals f(t) reprasentiert. Wenn man sich unter f(t) beispielsweise
die elektrische Spannung als Funktion der Zeit vorstellt, die an einem 1 Widerstand
anliegt, dann ist jf(t)j 2 die elektrische Leistung, die der Widerstand aufnimmt. Die Integration
der Leistung uber alle Zeiten ergibt die Gesamtenergie des Signals, die gema dem
Parsevalschen Theorem bei der Transformation in den Frequenzbereich unverandert bleibt.
2.3 Autokorrelationsfunktionen stochastischer und periodischer
Signale
Die Denition der Autokorrelationsfunktion gema Gl.(25) fuhrt zu Konvergenzproblemen,
wenn die zu korrelierenden Funktionen nicht zeitbegrenzt sind, wie dies i. allg. bei stochastischen
und bei periodischen Funktionen der Fall ist.
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