Skript

Die Beziehung zwischen dem Faltungsintegral (16) und dessen Fourier-Transformierter ist
ein wichtiges Instrument der Systemtheorie. Dieser Zusammenhang, als Faltungstheorem bekannt,
ermoglicht es, eine Faltung nichtnur im Zeitbereich sondern auch als einfache Multiplikation
im Frequenzbereichauszufuhren. Wenn H(f) die Fourier-Transformierte von h(t)und
X(f) die Fourier-Transformierte von x(t) ist,dannistH(f)X(f) dieFourier-Transformierte
von h(t) x(t). Das Faltungstheorem lat sich somit durch dasTransformationspaar
F(h(t) x(t)) = F(h(t)) F(x(t)) = H(f)X(f) (17)
mit f = !=(2) zum Ausdruck bringen. Um dieses Theorem zu beweisen, setzen wir fur
h(t ; ) in Gl.(16) die Beziehung gema Gl.(15) ein, wobei ! =2f:
y(t) =
Z
+1
;1
x()
2
Z
4 +1
;1
3
H(f)e j2f(t; ) df5 d : (18)
Mit der Annahme, da die Reihenfolge der Integrale vertauscht werden kann, ist diese Beziehung
aquivalent zu
y(t) =
Z
+1
4 +1
;1
2
Z
;1
3
x()e ;j2f d5 H(f)e j2ft df : (19)
Gema Gl.(14) lat sich der Term in eckigen Klammern durch X(f) ersetzen.
Mit Hilfe von Gl.((15)) folgt dann:
und somit
y(t) =
Z
+1
;1
Y (f)e j2ft df =
Z
+1
;1
X(f)H(f)e j2ft df (20)
Y (f) =H(f)X(f) : (21)
Der Beweis fur die Umkehrung des Theorems (Faltung im Frequenzbereich entspricht Multiplikation
im Zeitbereich) erfolgt in ahnlicher Weise.
2.2 Korrelationstheorem
Das Korrelationsprodukt zweier Funktionen, z.B. x(t) und h(t), (auch einfach Korrelation
genannt) ist eng mit dem Faltungsprodukt verknupft. Das Korrelationsprodukt ist wie folgt
deniert:
(t) =
Z
+1
;1
x()h(t + )d = x(;t) h(t) : (22)
Das Ergebnis, die Funktion (t), wird als Korrelationsfunktion bezeichnet. Um das zweite
Gleichheitszeichen zu beweisen, ersetzen wir durch ;:
(t) =
Z
;1
+1
x(;)h(t ; )(;d) =
Z
+1
;1
x(;)h(t ; )d : (23)
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