Skript
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −15 −10 −5 0 5 10 15 Abb. 3: Betrag jF (!)j der Fourier-Transformierten eines Rechteck-Pulses mit f 0 T =1. (Die Abszisse ist in Vielfachen von !T=2 skaliert.) Der Verlauf von jF (!)j ist in Abb. 3 dargestellt. Beispiel: Amplitudenspektrum einer Gaufunktion der Breite : f(t) = 1 p 2 e ;t2 =(2 2 ) ! F (!) = = +1 Z ;1 1 p e ;t2 =(2 2) e ;j!t dt 2 Z 0 +1 2 p e ;t2 =(2 2) cos(!t)dt 2 = e ;!2 2 =2 = jF (!)j Abb. 4 zeigt zwei Gaufunktionen unterschiedlicher Breite mit den zugehorigen Amplitudenspektren. 1.3 Diracsche-Deltafunktion Fur die digitale Signal- und Bildverarbeitung sowie fur die Beschreibung linearer Systeme ist die Diracsche Deltafunktion (t) (auch Delta-Puls genannt) von elementarer Bedeutung. Denition der Deltafunktion: Fur einen Rechteck-Puls mit f 0 = 1 T folgt der Grenzwert lim f(t) =(t) T !0 9
0.8 1 f(t) 0.6 0.4 0.2 F(ω) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −10 −5 0 5 10 Zeit t (s) 0 −40 −20 0 20 40 Kreisfrequenz ω (Hz) Abb. 4: linkes Bild: Darstellung von Gaufunktionen der Breite =0 5 s (durchgezogene Linie) und =2s (gestrichelte Linie) im Zeitbereich rechtes Bild: zugehorige Amplitudenspektren im Frequenzbereich. ! lim jF (!)j T !0 = 1 lim T !0 = 1 Alternative Denition: 1 (t) = lim p e ;t2 =(2 2) = !0 2 ( 1 fur t =0 0 sonst Z +1 ;1 (t)dt =1: Das Spektrum ergibt sich zu: Es gilt also: lim !0 e;!2 2 =2 =1: ! Das Amplitudenspektrum einer Diracschen Delta-Funktion ist konstant 1. ! Bei Anregung eines linearen Systems durch einen Delta-Puls werden alle Frequenzen gleichermaen angeregt. 2 Faltung und Korrelation 2.1 Faltungstheorem Das Faltungsintegral, das die Faltung zweier Funktionen, z.B. x(t) und h(t) beschreibt, ist wie folgt deniert: y(t) = Z1 ;1 x()h(t ; )d = x h: (16) Die Funktion y(t) wird als Faltungsprodukt der Funktionen x(t) und h(t) bezeichnet. 10
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Abb. 3: Betrag jF (!)j der Fourier-Transformierten eines Rechteck-Pulses mit f 0 T =1.<br />
(Die Abszisse ist in Vielfachen von !T=2 skaliert.)<br />
Der Verlauf von jF (!)j ist in Abb. 3 dargestellt.<br />
Beispiel: Amplitudenspektrum einer Gaufunktion der Breite :<br />
f(t) = 1 p<br />
2<br />
e ;t2 =(2 2 )<br />
! F (!) =<br />
=<br />
+1 Z<br />
;1<br />
1<br />
p e ;t2 =(2 2) e ;j!t dt<br />
2<br />
Z<br />
0<br />
+1<br />
2<br />
p e ;t2 =(2 2) cos(!t)dt<br />
2<br />
= e ;!2 2 =2<br />
= jF (!)j<br />
Abb. 4 zeigt zwei Gaufunktionen unterschiedlicher Breite mit den zugehorigen Amplitudenspektren.<br />
1.3 Diracsche-Deltafunktion<br />
Fur die digitale Signal- und Bildverarbeitung sowie fur die Beschreibung linearer Systeme<br />
ist die Diracsche Deltafunktion (t) (auch Delta-Puls genannt) von elementarer Bedeutung.<br />
Denition der Deltafunktion:<br />
Fur einen Rechteck-Puls mit f 0 = 1 T<br />
folgt der Grenzwert<br />
lim f(t) =(t)<br />
T !0<br />
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